Проверка статистических гипотез

Если закон распределения неизвестен, то выдвигают гипотезу о его виде. Возможен также случай, когда закон распределения известен, а его параметр  неизвестен. Тогда есть основание предположить, что неизвестный параметр  равен определённому значению  и выдвигают гипотезу .

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. гипотезы бывают простые и сложные.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложная гипотеза состоит из конечного числа простых гипотез.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается , а гипотеза, противоречащая нулевой – конкурирующей и обозначается .

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. В результате проверки могут быть допущены ошибки двух видов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза, ошибка второго рода – будет принята неправильная гипотеза.

Решение признать верной гипотезу  или  принимается по значению некоторой функции выборки, называемой статистическим критерием.

Значение критерия, вычисленное по выборке, называется наблюдаемым и обозначается . Множество значений критерия можно разделить на два непересекающихся подмножества: подмножество значений критерия, при которых гипотеза  принимается, называется допустимой областью; подмножество значений критерия, при которых гипотеза  отвергается и принимается гипотеза , называется критической областью.

Критическими точками называются точки, отделяющие критическую область от допустимой. Эти точки являются табличными или критическими значениями критерия и обозначаются .

При проверке гипотез следует по возможности уменьшить вероятности принятия неправильных решений. Допустимая вероятность ошибки I рода  называется уровнем значимости.

Для определения критической области используют уровень значимости и учитывают вид альтернативной гипотезы .

 определяют по таблицам распределения данного критерия если , то гипотеза  принимается, если , то принимается гипотеза .

Пример решения задания 5

Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.

Интервал
	5	10	35	20	15	8	7

Решение

Выдвигаются нулевая и конкурирующая гипотезы:

: закон распределения генеральной совокупности является нормальным;

: генеральная совокупность имеет закон распределения отличный от нормального.

Интервальный вариационный ряд преобразуется в дискретный. Для этого интервалы заменяются соответствующими им серединами, а частоты остаются прежними.

	2,6	3,4	4,2	5,0	5,8	6,6	7,4
	5	10	35	20	15	8	7

По полученным данным находятся выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , число степеней свободы которой находится по формуле:

,

где число интервалов, на которые разбит вариационный ряд;

 число параметров распределения, которые оценены по данным выборки (для нормального распределения , для распределения Пуассона ).

Значит . Задаётся уровень значимости .

По уровню значимости и числу степеней свободы критическая точка правосторонней критической области  находится из приложения 5 [1, 2] и равна .

Предварительно определим теоретические частоты по формуле .

Расчёты представлены в таблице.

	3,0	3,8	4,6	5,4	6,2	7,0	7,8
	–1,28	–0,71	–0,14	0,43	1,00	1,57	2,14
	–0,3997	–0,2611	–0,0557	0,1664	0,3413	0,4418	0,4838
	2,2	3,0	3,8	4,6	5,4	6,2	7,0
	–1,86	–1,28	–0,71	–0,14	0,43	1,00	1,57
	–0,4686	–0,3997	–0,2611	–0,0557	0,1664	0,3413	0,4418
	0,07	0,13	0,21	0,23	0,18	0,13	0,05
	7	13	21	23	18	13	5
	0,571	0,692	9,333	0,391	0,500	1,923	0,800

По уровню значимости и числу степеней свободы критическая точка правосторонней критической области  находится из приложения 5 [1, 2] и равна .

Так как , то гипотеза  о нормальном распределении отвергается.

Ответ: закон распределения генеральной совокупности не является нормальным.

Список рекомендуемой литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие. -М.: ЮРАЙТ, 2012.–479с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебное пособие. -М.: ЮРАЙТ, 2011.-404с.

3. Бойцова Е.А. Практикум по математике. Спецглавы [Текст]: учебное пособие / Е.А.Бойцова. − Старый Оскол: ТНТ, 2014. –156с.