Интервальные оценки параметров распределения

До этого мы рассматривали вопросы об оценке параметра  одним числом. Такая оценка называлась точечной. В ряде задач требуется найти для неизвестного параметра не только подходящее значение, но и оценить его точность и надёжность.

Доверительным интервалом для параметра  называется интервал , в котором с заранее заданной вероятностью содержится истинное значение этого параметра.

,

где доверительная вероятность или надёжность.

Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объёма n в относительной доле случаев, равной , доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности , накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, чем больше , тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр. Однако с ростом доверительной вероятности  в среднем растёт длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями,  обычно используются значения , равные 0,90; 0,95; 0,99; 0,999.

Вероятность

называется уровнем значимости и характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.

Пусть для параметра  на основании выборочных данных получена несмещённая оценка . Найдём такое положительное значение , для которого событие  с вероятностью  можно считать достоверным.

,

,

.

Интервал  называется доверительным, погрешность (точность) доверительного интервала, .

Для доверительного интервала вида  справедливы следующие соотношения:

,

.

Общая схема построения доверительных интервалов

1. Из генеральной совокупности случайной величины X с известным распределением  извлекается выборка объёма n, по которой находится точечная оценка  параметра .

2. Строится новая случайная величина , связанная с параметром и имеющая известную плотность вероятности . Построение случайной величины  и подбор соответствующего (или близкого) типа распределения для неё определяется свойствами точечной оценки  (как случайной величины).

3. Задаётся уровень значимости , что соответствует надёжности .

4. Используя плотность распределения  случайной величины , определяются два числа  и  так, чтобы . Значения  и  определяются, как правило, из условий .

Эти значения определяются по таблицам как квантили распределения случайной величины . Используя связь случайных величин  и , неравенство  преобразуют в равносильное неравенство  такое, что . Полученный интервал , содержащий неизвестный параметр  с вероятностью , является интервальной оценкой параметра . Положительное число  характеризует точность оценки.