Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при неизвестном среднеквадратическом отклонении

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём среднеквадратическое отклонение  неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание  с помощью доверительного интервала с заданной точностью .

Известно, что если случайная величина Z распределена нормально по закону , а величина V имеет распределение с  степенью свободы, причём эти величины независимы, то случайная величина  имеет t-распределение Стьюдента с  степенью свободы.

В частности, такими свойствами обладают случайные величины , . Таким образом, мы можем использовать в качестве  случайную величину , которая имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы. Здесь  – выборочная средняя,  – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение, объём выборки.

По таблице t-распределения Стьюдента по заданным значениям n и  находится квантиль , удовлетворяющий условию .

Таким образом, доверительный интервал имеет вид . Он содержит неизвестный параметр  с надёжностью . При построении случайные величины  и  заменяются неслучайными значениями  и , найденными по данной выборке. По таблице по заданным значениям n и  можно найти .

Таким образом, если среднеквадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины неизвестно, то доверительный интервал для оценки математического ожидания определяется соотношением:

,

где  точечная оценка математического ожидания (  выборочное среднее);

точность оценки;

исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;

объём выборки;

 – квантиль распределения Стьюдента, определяется:

а) по таблице приложения 3 [1, 2] в зависимости от объёма  и надёжности γ

или    

б) по таблице приложения 6 [1, 2] в зависимости от числа степеней свободы  и уровня значимости .

Пример решения задания 4

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания  нормального распределения с надёжностью , зная выборочное среднее , объём выборки  и исправленную выборочную дисперсию .

Решение

Найдём исправленное среднеквадратическое отклонение .

Квантиль распределения Стьюдента определим двумя способами:

а) ,  

или

б) , .

Искомый доверительный интервал  или .

Ответ: .