Точечные оценки параметров распределения

Числовые характеристики всей генеральной совокупности называются параметрами. Так как всю генеральную совокупность изучить достаточно часто не представляется возможным, о параметрах судят по выборочным характеристикам.

На основании выборочных данных можно получить лишь приближенное значение параметра, которое является его оценкой.

Обозначим точечная оценка для параметра  генеральной совокупности.

Многократные выборки одинакового объёма дадут различные значения параметра . В этом случае возникает проблема выбора наилучшей оценки. Чтобы выбранная оценка была наилучшей, она должна удовлетворять свойствам несмещённости, эффективности и состоятельности.

1. Оценка  называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. .

2.  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию при заданном объёме выборки.

3. Состоятельной называется оценка, которая при  стремится по вероятности к оцениваемому параметру .

Репрезентативная выборка – это такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности, из которой извлечена данная выборка, представлены приблизительно в той же пропорции или с той же частотой, с которой данный признак выступает в этой генеральной совокупности. При достаточно большом значении объёма выборки нет разницы в выборе смещённой или несмещённой оценки параметра, при малом n необходимо рассматривать несмещённую оценку, поскольку выборка будет репрезентативной, то есть полностью представлять генеральную совокупность.

Для выборки можно определить ряд числовых характеристик: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднеквадратическое отклонение, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Пусть статистическое распределение выборки объёма n имеет вид:

				…
				…

1) Выборочное среднее (обозначается ) – это среднее арифметическое всех значений выборки:

или .

Выборочное среднее показывает среднее значение, вокруг которого группируются варианты.  является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания.

Свойства средней арифметической :

1. , где С – постоянная;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

2) Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней.

.

Выборочная дисперсия показывает меру разброса данных вокруг среднего значения. Она является состоятельной и смещённой оценкой дисперсии.

Свойства средней арифметической :

1. , где С – постоянная;

2. ;

3. ;

4. , где

Алгоритм расчёта выборочной дисперсии

1) Вычисляется объём выборки n;

2) Находится выборочная средняя ;

3) Определяется величина ;

4) .

Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с величиной той же размерности, что и величина Х. Для этого вводится понятие выборочного среднеквадратического отклонения.

3) Выборочное среднеквадратической отклонение – это арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е.

.

4) Размах выборки (обозначается ) – это разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:

.

Для подробного описания особенностей распределения используют дополнительные характеристики – моменты распределения. Выяснение общего характера предполагает не только оценку степени его однородности, но и позволяет исследовать форму распределения.

Средняя из k-х степеней отклонений вариант  от некоторой постоянной величины  называется моментом k-го порядка:

.

При расчёте средних в качестве весов можно использовать частоты, относительные частоты или вероятности. При использовании в качестве весов частот или относительных частот моменты называются эмпирическими (обозначаются ), а при использовании вероятностей – теоретическими (обозначаются ). Порядок момента определяется величиной k.

Эмпирический момент k-го порядка – это отношение суммы произведений k-х степеней отклонений вариант от постоянной величины  на частоты к объёму выборки:

.

Практически используют моменты первых четырех порядков. Если , то моменты начальные; , то моменты центральные;  – произвольное число, то моменты условные.

Нормальное распределение является одним из самых распространённых в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используются нормированные моменты.

Порядок момента	Начальные моменты	Центральные моменты	Нормированные моменты
Общие формулы

Для облегчения расчётов можно воспользоваться соотношениями между начальными и центральными моментами:

,

,

.

Из математической статистики известно, что при увеличении объёма статистической совокупности  и одновременного уменьшении интервала группировки полигон либо гистограмма распределения всё более и более приближается к некоторой плавной кривой, являющейся для указанных графиков пределом. Эта кривая называется эмпирической кривой распределения и представляет собой графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант. В статистике различают следующие виды кривых распределения: одновершинные и многовершинные кривые.

Однородные совокупности описываются одновершинными распределениями. Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности или о некачественном выполнении группировки. Одновершинные кривые распределения делятся на симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные.

Распределение называется симметричным, если частоты любых 2-х вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для характеристики асимметрии используют коэффициент асимметрии.

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту, поэтому каждый центральный момент нечётной степени равен 0. Для несимметричного распределения – не равен 0, следовательно, любой из этих моментов может служить для оценки симметрии. Поэтому выбран нечётный момент наименьшего порядка, не равный нулю или . Чтобы получить безразмерную характеристику, его делят на  (так как  имеет размерность куба рассматриваемой случайной величины).

5) Коэффициент асимметрии  – это отношение центрального момента третьего порядка к кубу выборочного среднеквадратического отклонения:

.

В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от –1 до +1. в симметричных распределениях . Если , то имеет место левосторонняя асимметрия, а если  – правосторонняя асимметрия. Чем ближе по модулю  к 1, тем асимметрия существеннее:

– если , то асимметрия считается незначительной,

– если , то асимметрия считается умеренной,

– если , то асимметрия значительная.

         Рис. 5 Правосторонняя                  Рис. 6 Левосторонняя

                    асимметрия                             асимметрия

6) Для нормального распределения , поэтому для оценки крутизны исследуемого распределения в сравнении с нормальным из  вычитается 3. Эксцесс  – это уменьшённое на три единицы отношение центрального момента четвёртого порядка к четвёртой степени среднеквадратического отклонения:

.

Кривые распределения, у которых , менее крутые, имеют более плоскую вершину и называются плосковершинными. Кривые распределения, у которых , более крутые, имеют острую вершину и называются островершинными.

Рассматривая формулы моментов, можно видеть, что начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую и используется как показатель центра распределения. Центральный момент первого порядка (нулевое свойство средней арифметической) всегда равен нулю. Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию и служит основной мерой колеблемости признака. Центральный момент третьего порядка равен нулю в симметричном распределении и используется для определения показателя асимметрии. Центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса. Начальные моменты второго, третьего и четвертого порядка, так же как и условные моменты, самостоятельного значения не имеют, а используются для упрощения вычислений центральных моментов.

Пример решения задания 2

Задан вариационный ряд выборки. Найти: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, размах выборки, асимметрию, эксцесс.

	3	5	6	8	9	10	14
	2	10	15	20	38	11	4

Решение

Объём выборки: .

1) Выборочное среднее:

.

2) Выборочная дисперсия:

;

.

3) Выборочное среднеквадратическое отклонение:

.

4) Размах выборки: .

5) Начальные моменты:

– 1-го порядка ;

– 2-го порядка ;

– 3-го порядка 

;

– 4-го порядка 

.

6) Центральные моменты

– 2-го порядка ;

– 3-го порядка

;

– 4-го порядка

.

7) Асимметрия .

, то есть асимметрия умеренная.

8) Эксцесс .

Так как , то кривая распределения является островершинной.