Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при известном среднеквадратическом отклонении

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, среднеквадратическое отклонение  известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание  по выборочной средней .

В данном случае в качестве случайной величины  берётся величина , которая при достаточно больших объёмах выборки приближённо распределена по нормальному закону . Поэтому с заданной надёжностью  доверительный интервал имеет вид .

Таким образом, если исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону с известным среднеквадратическим отклонением , то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством:

,

где  точечная оценка математического ожидания (  выборочное среднее);

точность оценки;

объём выборки;

квантиль нормального распределения или значение аргумента функции Лапласа (приложение 2 [1, 2]), при котором .

Пример решения задания 3

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания  нормального распределения с надёжностью , зная выборочное среднее , объём выборки  и генеральное среднеквадратическое отклонение .

Решение

Воспользуемся формулой: , далее по таблице приложения 2 [1, 2] находим . Искомый доверительный интервал:

 или .

Ответ: .

Смысл полученного результата: если произведено достаточно большое количество выборок по 49 элементов в каждой, то 95% из них определяют такие доверительные интервалы, в которых  заключено, и лишь в 5% случаев значение  может выйти за границы доверительного интервала.