Графическое изображение вариационных рядов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Юго-Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)

Кафедра высшей математики

                                                             УТВЕРЖДАЮ

                                                            Проректор по учебной работе

                                                             ___________О.Г. Локтионова

                                                             «____»_____________2018 г.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Методические указания по выполнению модуля «Элементы математической статистики и корреляционного анализа»

Курск 2018

УДК 519.22

Составители: О.А. Бредихина, С.В. Шеставина

Рецензент

Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Н.А. Моргунова

Элементы математической статистики: методические указания по выполнению модуля «Элементы математической статистики и корреляционного анализа» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: О.А. Бредихина, С.В. Шеставина. – Курск, 2018. – 28 с.

Методические указания содержат теоретические сведения по теме «Элементы математической статистики», подробно разобраны типовые задачи.

Методические указания предназначены для студентов всех направлений и специальностей, изучающих математическую статистику.

Текст печатается в авторской редакции

Подписано в печать ___________. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.     . Уч.-изд. л.    . Тираж    экз. Заказ   . Бесплатно.

Юго-западный государственный университет.

305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

Введение………………………………………………………………..4

1. Статистическое распределение выборки. Графическое изображение вариационных рядов……………………………………5

2. Точечные оценки параметров распределения……………………11

3. Интервальные оценки параметров распределения………………18

4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при известном среднеквадратическом отклонении…………………………….……20

5. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при неизвестном среднеквадратическом отклонении………………………………….22

6. Проверка статистических гипотез………………………….……..24

Список рекомендуемой литературы...................................................28

Введение

В образовательном процессе математическая статистика традиционно считается наиболее сложным для восприятия предметом. Предлагаемая работа ставит своей целью помочь тем, кто осваивает этот раздел математики.

В ней содержатся основные положения математической статистики, а также разобраны задачи с подробным решением по указанной тематике.

Данное пособие является приложением к модулю 20 «Элементы математической статистики и корреляционного анализа».

Авторы надеются, что это методическое издание поможет студентам в самостоятельной работе по выполнению модуля и изучению данного материала.

Статистическое распределение выборки.

Графическое изображение вариационных рядов

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n, в которой значения  некоторого исследуемого признака  наблюдалось  раз, значения  раз, значения  раз. Значения  называются вариантами, а  их частотами.

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариант с соответствующими им частотами.

Отношения частот вариант к объёму выборки

называются относительными частотами. При этом .

Перечень вариант и соответствующих им частот (относительных частот) называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом. Здесь имеется аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей – это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – это соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами). Заметим, что сумма относительных частот равна единице, т. е. .

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Для преобразования дискретного статистического ряда в интервальный необходимо установить величину интервалов, получить шкалу интервалов и в соответствии с этой шкалой сгруппировать данные.

Для определения величины интервала используется формула Стерджесса:

,

где  наибольшее и наименьшее значения признака;

 – число интервалов.

Шкала интервалов формируется следующим образом:

,

,

,

  …

Границы интервалов формируются до тех пор, пока не превысят : , , …, , где .

Во второй строке статистического ряда записывается количество наблюдений, попавших в каждый интервал.

Для изображения вариационных рядов обычно используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

1. Дискретный вариационный ряд графически изображается полигоном.

Каждую пару значений  из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно рассматривать и пары значений  относительного распределения выборки.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки .

Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки .

2. Интервальный вариационный ряд графически изображается гистограммой.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению  (плотность частоты).

Геометрический смысл гистограммы частот: площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки n.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению  (плотность относительной частоты).

Геометрический смысл гистограммы относительных частот: площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех частот, т.е. единице.

3.Кумулятивная кривая (кумулята, кривая накопленных частот (относительных частот)) строится как для дискретных, так и для интервальных вариационных рядов.

Для дискретных вариационных рядов кумулятивная кривая – ломаная, соединяющая точки  или , , где накопленная частота.

Для интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты, а нижней границе первого интервала – накопленная частота, равная нулю.

Пример решения задания 1

Имеются данные о стаже рабочих цеха: 6, 6, 10, 10, 7, 2, 2, 5, 8, 8, 12, 9, 10, 10, 7, 7, 6, 7, 2, 3. Построить дискретный и интервальный вариационные ряды и изобразить их графически: построить полигон, гистограмму, кумулятивную кривую.

Решение

1) Построение дискретного вариационного ряда.

Находится объём выборки, то есть  – общее количество чисел (у нас ).

Составляется таблица, где  – варианты (числа из условия), расположенные в порядке возрастания,  – сколько раз встречается каждое число.

Дискретный вариационный ряд

	2	3	5	6	7	8	9	10	12
	3	1	1	3	4	2	1	4	1

Контроль: , то есть 3+1+1+3+4+2+1+4+1=20 – верно.

2) Построение интервального вариационного ряда

Находится величина интервала:

.

Округление величины  производится следующим образом: если в условии даны числа, большие 100, то округляем до целых, если числа до 100, то оставляем один знак после запятой, а если даны очень маленькие числа, то округляем до сотых.

Далее шкала интервалов формируется так:

,                                                                 

,                                               

,                                            

,

,

,

.

Составляется таблица, в которой первая строка имеет вид: , , … . Вторая строка формируется так:  – общая сумма частоты встреч всех чисел дискретного ряда, попадающих в соответствующий интервал.

Интервальный вариационный ряд

Интервал
	3+1=4	1	3+4=7	2+1=3	4	1

3) Построение полигона частот по дискретному вариационному ряду.

Дискретный вариационный ряд имеет вид:

	2	3	5	6	7	8	9	10	12
	3	1	1	3	4	2	1	4	1

Соединив точки с координатами , получим искомый график.

Рис. 1 Полигон частот

4)  Построение гистограммы частот по интервальному вариационному ряду.

Дополним интервальный вариационный ряд. Последняя строка таблицы необходима для дальнейшего построения гистограммы частот.

Интервал
	4	1	7	3	4	1

Рис. 2 Гистограмма частот

5) Построение кумулятивной кривой для дискретного вариационного ряда.

Дополним дискретный вариационный ряд. Последняя строка таблицы необходима для дальнейшего построения кумулятивной кривой.

	2	3	5	6	7	8	9	10	12
	3	1	1	3	4	2	1	4	1
	0,15	0,20	0,25	0,40	0,60	0,70	0,75	0,95	1

Рис. 3 Кумулятивная кривая для дискретного вариационного ряда

6) Построение кумулятивной кривой для интервального вариационного ряда.

Интервал
	4	1	7	3	4	1
	0,20	0,25	0,60	0,75	0,95	1

Рис. 4 Кумулятивная кривая для интервального вариационного ряда