Последовательное соединение

Рис.2.11. Последовательное соединение R, L, C

На основании второго закона Кирхгофа:

u = u_R + u_L + u_C;

u = iR +L + .             (2.26)

Перейдем к комплексным изображениям действующих значений:

i = I_msin(wt+y_i) Þ       _.        (2.27)

Используя полученный комплекс тока, определим комплексы падения напряжения  на всех участках цепи:

Для сопротивления:

,                               (2.28)

Для индуктивности:

,    (2.29)

Для емкости:

.        (2.30)

Найденные комплексы напряжений подставим в исходное уравнение:

,    (2.31)

.                    (2.32)

 – получен закон Ома в комплексной форме.

Выражение в знаменателе представляет собой комплексное сопротивление исходной цепи, которое имеет вещественную и мнимую составляющую.

,               (2.33)

где ;        .

Для комплексных амплитуд закон Ома запишется в следующем виде:

,                 (2.34)

где U_m= I_mz - амплитуда напряжения;

Рис.2.12. Изображение сопротивления на комплексной плоскости

φ_U = j + j_i; Þ j = j_U – j_i;              (2.35)

u(t) = U_msin(wt + j_U).                    (2.36)

Построим векторную диаграмму цепи.

Рис.2.13. Векторная диаграмма для последовательного соединения разнородных элементов

i(t) = I_msin(wt + j_i);     j_i > 0.

Построение векторной диаграммы начинают с вектора тока, т.к. он один и тот же на всех участках цепи. Из построенной на комплексной плоскости векторной диаграммы можно выделить векторный треугольник напряжений, представленный на рис.2.14.

Рис.2.14. Векторный треугольник напряжений

Ниже приведен треугольник сопротивлений.

Рис.2.15. Скалярный треугольник сопротивлений

Угол сдвига фаз между напряжением и током можно определить из любого треугольника.

.             (2.37)

Параллельное соединение элементов R, L, C

Рассмотрим параллельное соединение разнородных элементов R, L, C.

Рис.2.16. Схема параллельного соединения элементов R, L, C

Пусть на вход цепи подано напряжение u = U_msin(wt+j_u), тогда по первому закону Кирхгофа:

Комплексное изображение входного напряжения:

.

Для определения комплекса общего тока найдем его составляющие:

тогда комплекс общего тока:

.                (2.38)

Построим векторную диаграмму для параллельного соединения.

Пусть φ_u < 0, φ_u - φ_I = j > 0, характер нагрузки активно-индуктивный.

Выражение в круглых скобках (2.38) имеет размерность 1/Ом или См (симменс) и носит название комплексной проводимости цепи:

 ,                         (2.39)

где y – модуль комплексной проводимости, а j – угол сдвига фаз между напряжением и током.

Рис.2.17. Векторная диаграмма для параллельного соединения разнородных элементов

Комплексная амплитуда общего тока:

.                        (2.40)

Её модуль:           .              Её фаза:                              .

Мгновенное значение общего тока:

i = I_msin(wt + φ_u – j).

Проводимости

Под комплексной проводимостью любой цепи понимается величина, обратная ее полному комплексному сопротивлению:

,                (2.41)

где g – активная проводимость данной цепи;

b – результирующая реактивная проводимость.

,                  (2.42)

где b_L и b_C – индуктивная и емкостная проводимости соответственно.

Понятие проводимости приобретает особый смысл в том случае, если ветвь содержит активные и реактивные элементы. На ветви, изображенной на рис.2.18, определим ее активную и реактивную проводимости:

Рис.2.18. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением

.              (2.43)

Из векторной диаграммы (2.17) можно выделить треугольник токов:

Рис.2.19 Векторный треугольник токов

Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей.

Рис.2.20. Скалярный треугольник проводимостей

Мощности

Рассчитаем мощность произвольного приемника, представленного на рисунке рис.2.21 в виде пассивного двухполюсника (в его состав не входят источники энергии).

Рис.2.21. Пассивный двухполюсник

Пусть u = U_msinwt – подводимое напряжение; φ_u – φ_I = j.

При φ_u=0 имеем i = I_msin(wt – j).

 Тогда:

                   (2.44)

Построим график полученной функции p(wt):

Рис.2.22. Зависимость мгновенных значений тока, напряжения и мощности произвольного
двухполюсника в функции фазы ωt

Полученный график говорит о том, что функция мгновенной мощности знакопеременна. Это значит, что двухполюсник имеет активно-реактивный характер. Если бы двухполюсник не содержал реактивных элементов, то график полностью бы лежал над осью wt. Найдем среднее значение мгновенной мощности:

.                                      (2.45)

Эта мощность называется активной мощностью. Единица измерения активной мощности – [Вт].

Наряду с активной вводится понятие полной мощности:

S = UI                                                  (2.46)

Единица измерения полной мощности – [В×А] (вольт-ампер).

P/S = cosj – коэффициент мощности.

Мощность, обусловленная наличием реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, называется реактивной мощностью:

Q = UIsinj                                        (2.47)

Единица измерения реактивной мощности – [вар].

Мощности связаны между собой соотношением:

           (2.48)

Треугольник мощностей (2.23.a) можно получить из векторной диаграммы напряжений (рис.2.14), умножив стороны прямоугольного треугольника на вектор :

В этом треугольнике:

сторона ab – активная мощность P = U_RI = I²R = UIcosj;

сторона bc – реактивная мощность Q = Q_L – Q_C = (U_L – U_C)I = I²(X_L – X_C) = UIsinj;

сторона ac – полная мощность .

Рис.2.23. Треугольники мощностей на основе векторной диаграммы напряжений (а)
и векторной диаграммы токов (b)

Аналогичный треугольник мощностей можно получить из векторной диаграммы токов, умножив все стороны треугольника токов на вектор . В этом треугольнике (2.23.b):

cторона ab – активная мощность P = I_RU = I²g = UIcosj;

сторона bc – реактивная мощность Q = Q_L – Q_C = (I_L – I_C)U = U²b = UIsinj;

сторона ac – полная мощность

Пусть на входе некоторого двухполюсника известны комплексные изображения напряжения и тока:

; .

Мощность в комплексной форме выражается в виде произведения:

,                                            (2.49)

где  – сопряженный комплекс тока.

.           (2.50)