ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Рассмотренные выше источники энергии могут быть как постоянными, так и переменными, причем закон их изменения во времени может носить как периодический, так и непериодический характер. Наибольшее практическое распространение получили источники, а следовательно и цепи, электромагнитные процессы в которых подчиняются периодическому закону.

Частным случаем таких цепей являются цепи однофазного синусоидального тока.

Мгновенное значение любой синусоидальной функции: напряжения, тока, ЭДС и т.д. может быть представлено выражением вида:

u(t) = U_m sin(wt+y),                    (2.1)

где

U_m – амплитуда – наибольшее значение функции за период Т (рис.2.1);

w – круговая (циклическая) частота колебания;

y – начальная фаза, которая показывает смещение синусоиды относительно начала координат вправо или влево;

T = 1/¦ Þ ¦ = 1/T, [Гц];           (2.2)

w = 2p¦ = 2p/Т, [рад/с].          (2.3)

Рис.2.1. Примеры изображения периодических функций

Среднее и действующее значение периодической функции

                                        F_ср= ,                                              (2.4)

где f(t) – периодическая функция, T – период периодической функции.

Ввиду симметричности синусоиды получаем, что среднее значение за период равно нулю, поэтому вводят понятие среднего значения за половину периода.

F_ср = = F_m.      (2.5)

Значительно большее значение имеет понятие действующего значения. Для его осмысления оценим тепловое действие переменного и постоянного тока.

Переменный ток:

W = ;

Постоянный ток:

W = I²RT;

Приравняв правые части и произведя простые операции, получим:

I = I_Д = ,            (2.6)

где  = ;

Подставим полученный результат под корень и получим:

                               I = ,                     (2.7)

где (2.7) – среднеквадратичное, эффективное или действующее значение синусоидального тока. Аналогично, .

Рис.2.2. Графическое изображение действующего значения

Элементы R,L,C в цепях синусоидального тока

2.2.1. Сопротивление (R)

Пусть по сопротивлению протекает синусоидальный ток с начальной фазой равной нулю.

i = I_msinwt.                               (2.8)

Рис.2.3. Условно положительные направления тока
и напряжения на сопротивлении

Определим падение напряжения, действующее на зажимах сопротивления на основании закона Ома:

u = iR = I_mRsinwt = U_msinwt.          (2.9)

Полученный результат показывает, что напряжение изменяется в фазе с током.

Определим функцию мгновенной мощности, потребляемую R.

;

p = UI(1 – cos2wt),           (2.10)

где U, I – действующие значения.

Рис.2.4. Графики мгновенных значений напряжения, тока
и мощности на сопротивлении

Из графика мгновенной мощности следует, что она неотрицательна и меняется с удвоенной частотой.

Для оценки потребляемой приемником мощности вводят понятие средней мощности за период:

, [Вт]. (2.11)

Индуктивность (L)

Пусть через индуктивность протекает синусоидальный ток:

i = I_msinwt;

Рис.2.5. Условно положительные направления тока, напряжения и ЭДС самоиндукции

Определим падение напряжения на индуктивности u_L. На основании закона электромагнитной индукции:

e_L = – L  = – wLI_mcoswt = wLI_msin(wt–p/2) = X_LI_msin(wt–p/2),

где  – индуктивное (реактивное) сопротивление.

u_L = -e_L = U_msin(wt + p/2).     (2.12)

Напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰.

Мгновенная мощность на индуктивности:

p = ui = (U_mI_msin2wt)/2=UIsin2wt.            (2.13)

Среднее значение мощности за период:

.            (2.14)

Для оценки занесенной в индуктивности энергии магнитного поля вводят понятие реактивной (индуктивной) мощности:

,[вар]               (2.15)

Рис.2.6. Графики мгновенных значений напряжения, тока и мощности на индуктивности

Из графика мгновенной мощности следует, что положительная полуволна мощности соответствует потреблению энергии из сети, а отрицательная – ее возврату в сеть.