Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

, .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

4.  Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что , следует равенство .

Ниже приведена таблица основных табличных интегралов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1.Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем

( ) и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 2.Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем ( ) и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 3.Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями ( ) и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 4.Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем ( ), правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями ( ,  ), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем

Пример 5.Найти интеграл .

Решение. Раскроем скобки по формуле  и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:

.

Пример 6.Найти интеграл .

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой  и свойствами неопределенного интеграла:

.

Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать обратную замену.

Пример 7.Найти интеграл .

Решение. Произведем подстановку , тогда , откуда . Далее получаем

.

Пример 8.Найти интеграл .

Решение. Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем

Пример 9.Найти интеграл .

Решение. Положим , тогда  откуда . Далее получаем

.

Пример 10.Найти интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Далее получаем

.

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы ( ,  - постоянные):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Так, при нахождении  можно использовать формулу , где . Тогда .

Интегрирование по частям.Здесь используют формулу:

Пример 11. Найти интеграл: Пример 12. Найдите интеграл: Пример 13. Найдите интеграл:

Определенный интеграл.

Понятие определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Допустим для простоты, что функция  в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на n частей точками . На каждом из частичных отрезков  (i=1, 2, 3, …, n) возьмем произвольную точку  и составим сумму:

,

где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .

Геометрически (рис. 10) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием  и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Рисунок 10

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка  на части получим различные интегральные суммы, а, следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков  стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются точки .

Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .

Определение 4. Определенным интегралом от функции на отрезке  называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом  и читается «интеграл от a и b от функции  по » или, короче, «интеграл от a и b от функции ».

По определению,

.

Число a называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок  - отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке  функция  интегрируема на отрезке.

Если интегрируемая на отрезке  функция  неотрицательна, то определенный интеграл  численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми  и  (рис. 10), т.е. . В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

3. Отрезок интегрировании можно разбивать на части:

, где

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница

,

Т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции;

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 14.Вычислить интеграл .

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

Пример 15.Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

Пример 16.Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:

.

Пример 17.Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Вычисление определенного интеграла методом подстановки. Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 18.Вычислить интеграл .

Решение. Введем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=0 получаем , при x=7 получаем .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

.

Пример 19.Вычислить интеграл .

Решение. Произведем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=1 получаем , при x=2 получаем .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

.

Пример 20.Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда  и . Определим пределы интегрирования для переменной t: , .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 21.Вычислить интеграл .

Решение. Пусть , , , .

Пример 22.Вычислить интеграл .

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

.

Вычислим каждый интеграл отдельно:

;

Пусть , , , , .

.

Тогда

    Интегрирование по частям.Здесь используют формулу:

Пример 23.Вычислите интеграл:

Пример 24.Вычислите интеграл:

Приложение определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площади плоских фигур.

1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b] функции f(x), осью Ох и прямыми х = а, х = b. Площадь данной фигуры находится по   S =                             (1)

Пример 25: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями . Решение:  Построим графики данных функций: а)  - кв. ф., график – парабола, ветви направленны вверх. Вершина находится в точке с координатами (0; 1).

Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

Х	±1	±2	±3
у	1,5	3	5,5

б) у = 0 – ось Ох

в) х = - 2, х = 3 – прямые,                                         У у =

параллельные оси Оу

                                 Х = - 2                  1                  х = 3

                                                           0                           Х

                                             - 2                     1            3

S =

Пример 26: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y = - x² – 1, y = 0, x = - 1, x = 2.

Решение: Построим графики данных функций: а) у = - х² – 1 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вниз. Вершина находится в точке с координатами (0; - 1). Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

б) у = 0 – ось Ох; х = - 1, х = 2 – прямые параллельные оси Оу

                                                                       У

                                                              0                                      Х

                                            - 2 - 1              1   2   3

                                             Х = -1                              Х = 2

                             У = - х² – 1

I =

S =

2. Фигура, ограниченная графиками двух непрерывных на отрезке [a; b] функций f(x) и g(x) и прямыми x = a, x = b, где f(x) ≥ g(x). В этом случае искомая площадь вычисляется по формуле

              S =                                       (2)

Пример 27: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями , .

Решение:1) Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций  и . Для этого решим систему

Имеем

, ,   a = 1, b= - 1, c = - 2

              D =                                   

 D = (- 1)² - 4· 1· ( - 2) =9             , , .

Следовательно a = - 1, b = 2

2)Построим графики функций:

а) y = 4 – x² - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз. Вершина находится в точке с координатами (0;4). Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

 б) y = x² - 2x – квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: х_в = - .

 Вершина находится в точке с координатами (1; - 1). Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

                                                            У

Х	- 1	0	2
У	3	0	0

                                                                                 у = х² – 2х