Вычисление пределов в точке.

1)Предел многочлена. Для вычисления пределов многочлена f(х) = р(х) = ах^п + вх^{п – 1} +… + с при х→а достаточно вместо переменной х подставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия.

Пример 3. Вычислить  Решение: Применим Теорему 1

) = 49

2)Предел отношения двух многочленов

а) если g(a) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.

Пример 4: Вычислить  = .

б) если g(a) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если f(а) = А ≠ 0, то  = ∞.

Пример 5:

в) если g(a) = 0 и f(а) = 0, то имеем неопределённость вида . В этом случае предел  можно вычислить разложением многочленов g(х) и f(х) на множители или заменой у = х – а.

      Пример 6:

Вычислить  = ( ) =  =  =    или, заменяя у = х – 2 т.е. х = у + 2 и учитывая, что у→0 при х→2, получаем

 =

.  

г) Если функция f(x) или  g(x) содержит иррациональное выражение, в этом случае для вычисления предела, надо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряжённому корню.

Пример 7:

 =  =  =  =  =  = -

Если функция f(x) и g(x) содержит иррациональное выражение, в этом случае для вычисления предела, надо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряжённому корню числителя и знаменателя.

     Пример 8:

Вычисление пределов в бесконечности.

д) Если функция f(х) = ахⁿ + bx^{n – 1} + … + c, то надо вынести за скобки хⁿ, т.о. f(x) = ахⁿ + bx^{n – 1} + … + c) = , тогда  является бесконечно малой и стремится к 0.

    Пример 9:

е) Если функция f(х) = , где P(x) и Q(x) – многочлены n – степени, то при х →∞ числитель и знаменатель – величины бесконечно большие, поэтому получаем неопределённость вида  . Чтобы вычислить предел этой функции, надо числитель и знаменатель разделить на старшую степень знаменателя.

        Пример 10:  = - 0,6

Пример 11:

Пример 12:

Замечательные пределы.

I замечательный предел: ^х = е;     ,  е = 2,7182818…

Пример 13: ^5х = ^2х/3*3/2*5 =  ((1 + )^(3х/3))^15/2 =

( Заменим  = у и учтём, что у→∞ при х→∞) = ((1 + )^у)^15/2 = е^15/2

II замечательный предел: :  =1;    ;

Пример 14:  = (заменим 3х = у и учтём, что у→0 при х→0) = 3  =3*1 = 3

Пример 15:  = ( применим формулу ) =  =  =  =

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

Вычислите:

1.                                                6.

2.                                      7.

3.                                      8.

4.                                               9.   

5.                                            10.  

Ответы:1. 0; 2.2; 3.∞; 4.48; 5. 32; 6.1,5; 7.1; 8. ; 9.1; 10. .