Тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на координатной плоскости точкой М(х;у), при этом действительные числа изображаются точками на оси абсцисс, которую называют действительной осью, а мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. А также, произвольную точку М плоскости, не совпадающую с точкой О, можно задать двумя числами: r – длина отрезка ОМ и φ – углом, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении. Числа r и φ называются полярными координатами точки М. Совокупность точки О и оси ОР образуют полярную систему координат. О называется полюсом, а ОР – полярной осью.

 Полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах:

0

У                                                            

у                           М(х;у)

         r

             φ

О                      х  Р

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоугольные системы координат, то х = r  y = r    (4) , где r = =      (5) - называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа и обозначается , а φ – аргументом комплексного числа и обозначается arg z (0 arg z <2π).

tgφ =      (6)

Определение 4:Комплексное число z = χ + iy = r(  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Для числа z = 0 аргумент не определён.

Любое комплексное число z ≠ 0 имеет бесконечно много аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π.

Определение 5:Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка – π < φ ≤ π называется главным значением аргумента.

Пример 8:Найдите модуль и главное значение аргумента комплексного числа z = - 5i.

Решение: z = - 5i = 0 – 5i, т.е. х = 0, у = - 5, то М(0;- 5), следовательно М находится на отрицательной полуоси Оу, значит φ = - . Используя формулу (5) найдем значение модуля =  = 5.

Пример 9:Найдите все значения аргумента комплексного числа z = 1 – i.

Решение: х = 1, у = - 1. Используя формулу (6), находим tgφ = - 1, значит φ = -  + 2πк, к Z.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

1) Правило умножения:При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули умножаются, а аргументы складываются, т. е. z₁ = r₁(  z₁ = r₂(  

z₁z₂ = r₁r₂( ).                                   (7)

Пример 9:Дано z₁ = 2( ); z₂ = 3( ).

Найдите z₁z_2. Решение: Используя формулу (7), получим

z₁z₂ = 2* 3(  = 6( ) = - 1

2) Правило деления:При делении  двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются, т. е. . z₁ = r₁(  z₁ = r₂(  

                                             (8)

Пример 10:Дано z₁ = 3( ); z₂ = 2( ). Вычислить .

Решение:Используя формулу (8), получим  =  =1,5(  + i ) = 1.5( )) =  - i) =  - i

3) Правило:При возведении комплексного числа в степень n модуль этого числа возводится в степень n, а аргумент умножается на n, т. е.

                                                                     (9)

r = 1, то  = – формула Муавра   (10)