Дифференциальное исчисление

По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Выполните упражнения для самопроверки.

Производная и ее приложения

Производная. Понятие производной является одним из фундаментальных понятий к математике. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Пусть функция  определена в промежутке . Возьмем из этого промежутка фиксированное значение аргумента x и придадим ему приращение  так, чтобы новое значение аргумента  принадлежало этому промежутку. Тогда значение функции  заменится новым значением , т.е. функция получит приращение .

Определение 1.Предел отношения приращения функции  к вызвавшему его приращению аргумента  при стремлении  к нулю, т.е.

,

называется производной функции  по аргументу x в точке x.

Производная обозначается одним из символов: , , , а ее значение при  обозначается , , .

Определение 2.Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функция  имеет производную в точке x, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция  имеет производную в каждой точке промежутка X, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке.

Производная сложной функции.

Определение 3. Пусть , где u является не независимой переменной, а функцией независимой переменной x: . Таким образом, .

В этом случае функция y называется сложной функцией x, а переменная u – промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если  и  - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции  существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу и на производной промежуточного аргумента и по независимой переменной x:

.

Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Например, если , , , т.е. , то .

Формулы дифференцирования. Во всех приведенных ниже формулах буквами u и v обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x: , , а буквами a, c, n – постоянные:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7а.

8а.

9а.

10а.

11а.

12а.

13а.

14а.

15а.

16а.

17а.

При решении приведенных ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5, 7 и 8:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим

Пример 3. Найти производную функции  и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 7а и 10, имеем

.

Вычислим значение производной при :

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:

Пример 6. Найти производную функции  и вычислить ее значение при .

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:

.

Вычислим значение производной при .

Пример 7. Найти производную функции  и вычислить ее значение при .

Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:

.

Вычислим значение производной при :

.

Геометрический смысл производной.Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция  дифференцируема в точке х, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  в точке (х₀, у₀), равен значению производной функции при х=х₀, т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид

.

Пример 8. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке А (3,6).

Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х=3:

.

Уравнение касательной имеет вид

, или , т.е.

Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке с абсциссой х=2.

Решение. Сначала найдем ординату точки касания . Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.

; .

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке , имеет вид . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х=2:

Уравнение касательной таково:

, , т.е.

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t), то за промежуток времени  (от момента t до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда  есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения пути  к приращению времени , когда приращение времени стремиться к нулю:

.

Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

.

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции  равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:

Пример 10.Закон движения точки по прямой задан формулой  (s – в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути s по времени t:

,

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.

Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где v₀ – начальная скорость, g –ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t. Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если v₀=40 м/с?

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:

.

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

, , , ,  с.

За 40/g секунд тело поднимается на высоту

,  м.

Вторая производная. Производная функции  в общем случае является функцией от х. Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Определение 4. Второй производной функции  называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов – , , . Таким образом, .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

 или ,

Пример 12.Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

.

Пример 13. Найти вторую производную функции  и вычислить ее значение при х=2.

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

.

Вычислим значение второй производной при х=2; имеем

Физический смысл второй производной.Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.

Пример 14. Точка движется по прямой по закону . Найти скорость и ускорение движения .

Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение – второй производной пути s по времени t. Находим:

; тогда ;

; тогда

Пример 15.Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона, сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.

 или

Согласно условию, . Дифференцируя это равенство, найдем

Следовательно, действующая сила .

Приложения производной к исследованию функции.

Приложения производной к исследованию функции.

1)Условие возрастания функции: Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная больше ноля, т. е.  y = f(x)↑      f’(x)>0. Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением к оси оХ.

                                                     У

                                                                                                                  y = f(x)

                                                 0                α

                                                                                                                                Х

2)Условие убывания функции: Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная меньше ноля, т. е.

y = f(x)↓    f’(x)<0 .Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси оХ)

                                                     У

                                                                                                   α

                                                 0                                                       Х

                                                                                               y = f(x)

3)Условие постоянства функции:Дифференцируемая функция y = f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная равна нулю, т. е. y = f(x) – постоянна    f’(x)=0 .Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции параллельна оси оХ, т. е. α = 0)

                                                 У

                                                                                                      y = f(x)

  4)Экстремумы функции.

Определение 5: Точку х = х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x)> f(x₀)

Определение 6: Точку х = х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x) < f(x₀).

        Определение 7: Точку минимума или максимума функции называют точкой   экстремума. Значение функции в этой точке называют экстремальным.

                                Y

                                                 Y_max

                                                                                          y = f(x)   

                                                                                                        x

                                            0                    x_min   

                                                    x_max

                                       Y_min                                                                                                                 

Замечания:

1. Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением функции;

2. Функция может иметь несколько максимумов или минимумо;

3. Функция, определённая на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

 Необходимое условие экстремума: Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х₀, то в этой точке производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками 1 рода.

 Достаточные условия существования экстремума функции: Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри этого промежуткак ритическую точку 1 рода х = х₀, то:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х₀ f’(x) < 0, а при x> x₀ f’(x) > 0, то х = х₀ является точкой минимума функции y = f(x);

-                               +                     f’(x)

                                                             x = x₀                                  f(x)

                                                              min

  б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х₀ f’(x) > 0, а при x>  x₀

 f’(x) < 0, то х = х₀ является точкой максимума  функции y = f(x);

                                                        +                      -                 f’(x)

                                                                x = x₀                             f(x)

                                                                 max

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и справа и слева от точки х₀ знаки производной одинаковы, то в точке х₀ экстремума нет.

Промежутки убывания или возрастания функции называются промежутками монотонности.

 Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.

 Определение 8.Кривая у = f(x) называется выпуклой вниз на  промежутке а < х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется выпуклой вверх на  промежутке а < х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 9. Промежутки, в которых график функции обращён выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

            Y

                                                                                           Y = f(x)

              0                                                                                         X

 Достаточное условие выпуклости кривой. График дифференцируемой функции Y = f(x) является выпуклым вверх на  промежутке а < х <в, если f”(x) < 0 и выпуклым вниз, если f”(x) > 0.

 Определение 9. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода.

Определение 10.Точка графика функции Y = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположенных направлений этого графика, называется точкой перегиб.

                                                        +              -                      f”(x)

                                         х = х₀                                f(x)

                                  точка перегиба

Пример 16: Дана функция у = х³ – 2х² + 6х – 4.Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума. Определить направление выпуклости и точки перегиба.

 Решение: 1. Найдем область определения функции: D(y) = ;

                 2. Найдем первую производную: y’ = 3x² – 4x + 6;

              3. Решим уравнение: y’ = 0, 3x² – 4x + 6 = 0, D  0, то данное уравнение не имеет решения, следовательно точек экстремуму нет. y’ , то функция возрастает на всей области определения.

              4. Найдем вторую производную:y” = 6x – 4;

              5. Решим уравнение: y” = 0, 6x – 4 = 0, х =   

                                                               -                   +                  y”(x)

                                             y(x)

У( ) = -

Ответ: ( ; - ) – точка перегиба, функция выпукла вверх при х  и выпукла вверх при х

Асимптоты.

 Определение 11.:Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график данной функции.

 Виды асимптот:

1) Вертикальные асимптоты. График функции y = f(x) имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а

2) Горизонтальные асимптоты. График функции y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b.

Пример 17: Для функция y =  найдите асимптоты.

3) Наклонные асимптолты. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если . Значения k и b вычисляются по формулам: k = ; b = .

Решение: , то y = 0 – горизонтальная асимптота;

 (т. к. х – 3 ≠ 0, х ≠3), то х = 3 – вертикальная асимптота. ,т. е. k = 0, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Пример 18: Для функции y =  найдите асимптоты.

Решение: x² – 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 и х = - 5 являются горизонтальными асимптотами;

y = , то кривая не имеет вертикальной асимптоты;

 k = ; b = , т. е. y = 5x – наклонная асимптота.

Примеры построения графиков функций.

Пример 19.

Исследовать функцию и построить график функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

1.Найдём область определения функции: D(y) = R

2.Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной:

у( - х) = ( - х)³ - 6·(- х)² + 9·(-х) – 3 = - х³ – 6х² – 9х – 3 = - (х³ + 6х² + 9х + 3), т. е.

у( - х) ≠ у(х) – не является чётной и у( - х) ≠ - у(х) – не является нечётной

( у = х⁵ – х³ – нечетная, у = х⁴ + х² – четная)

3.Не является периодической.

4.Найдем точки пересечения с осями координат: если х = 0, то у = - 3        (0; - 3)

если У = 0, х найти затруднительно.

5.Найдем асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот нет, т.к. нет значений х, при которых функция неопределенна; у = , т. е. горизонтальных асимптот нет; 

k = , т . е. наклонных асимптот нет.

6.Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = 3x² – 12x + 9, y’= 0, 3x² – 12x + 9 = 0  x₁ = 1; x₂ = 3 – критические точки 1 рода.

                         +                -                         +     y’(x)

                                                                                             x

                                   1                       3                    y(x)

                                         max                        min

y_max = y(1) = 1, (1;1) – точка максимума; y_min = y(3) = - 3, (3; - 3) – точка минимума, функция у↑ при х  и у .

7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба: y” = (y’)’ = (3x² – 12x + 9)’ = 6x – 12, y” = 0, 6x – 12 = 0  x = 2

                               -                   +          y”(x)

                                                                          x

                                                        2                          y(x)   

Y(2) = - 1      (2; - 1) – точка перегиба, функция выпукла вверх при х  и выпукла вниз при х .

8.Дополнительные точки: 

 9. Построим график функции:

                                            У

                                                          1

                                      0   1 2 3  4                                               Х

                                      - 3

                                                     - 19

Пример 20.

Исследовать функцию и построить график функции у =

1. Найдём область определения функции: 1 – х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .

2.Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: ,

у( - х) ≠ у(х) – не является чётной и у( - х) ≠ - у(х) – не является нечётной

3.Не является периодической.

4.Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0, то у = - 2; у = 0, , то , т. е. (0; - 2); ( ).

5.Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 1,то прямая х = 1 – вертикальная асимптота;

у = , т. е. у = - 3 - горизонтальная асимптота; 

k = , т . е. наклонных асимптот нет.

  6.Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ =  = , y’ ≠ 0, т. е. критических точек 1 рода нет, но у’ > 0, то функция возрастает на всей области определения.

  7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:

y” = (y’)’ = ( , x ≠ 1

                                               +                              -           f” (x)

                                                                                                      x

                                                                    1                           f(x)

т. к. х = 1  D(y) , то не является точкой перегибах х = 1 – точка разрыва, функция выпукла вниз при х  и выпукла вверх при х

8. Дополнительные точки:   

х	- 1	2	3
у	- 2,5	- 4	- 3,5

9.Построим график функции:

                                                   У   

                                                                   Х = 1

                                       - 1  0      1    2       3                     Х

                                                        - 2

                                                                                                                           У = -3

                                                          - 3

                                                           - 4

Пример 21:

Исследовать функцию и построить график функции у =  

1. Найдём область определения функции: х ≠ 0, D (y) = ( - ∞; 0) U (0; + ∞)

2. Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: y( - x) = - , y(x) = - y(x) – то функция нечётная и график симметричен относительно начала координат.

3. Не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: х ≠ 0, то у ≠ 0, график не пересекает ось оУ; 3х²+ 1 = 0, х² = -  - нет решения, то график не пересекает ось оХ

5. Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 0,то прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

у = , т. е. горизонтальных асимптот нет; 

k = , т . е.y = 3x -  наклонная асимптота .

6. Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы:

y’ = , y’ = 0,

 = 0, 3x² – 1 = 0, x = ±  =  - критические точки 1 рода.

                  +                    -                      +                 y’(x)

                                                                                                 X

                                                          Y(x)

                                  max                   min

y( - ) =     y( ) = 2

( ) – точка минимума; ( ) – точка максимума; У ↑ при Х ; y

7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:  y” = (y’)’ = ; x ≠ 0;

-                              +                   y”(x)

-                                                           X

       0                                     Y(x)                          

т. к. х = 0  D(y) , то не является точкой перегиба ,х = 0- точка разрыва; функция выпукла вверх при х  и выпукла вниз при

х

Дополнительные точки:   

8.Построим график функции:       У

                                                                                            У = 3х

                                        4

                                        3

                                                2

                                                 1

                                                  0                                                                   Х

                           - 1      - 0,5 - 0,1 0,1 0,5 1

Упражнения для самопроверки

1. Найдите производные функций: а) ; б) ; 

2. Найдите вторую производную функции: а) ; б) ; в) .

3. Составьте уравнение касательной к кривой  в начале координат.

4. При каком значении переменной x касательные к кривым  и  параллельны?

5. Тело движется прямолинейно по закону  (  - в метрах,  - в секундах). Найдите скорость движения в тот момент времени, когда ускорение равно нулю.