Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.

                                       =                                            (12)

  Показательная функция имеет период, равный 2πi, т. е. . При z = 0 получим соотношение .

   Тригонометрическую форму комплексного числа z = r(  можно записать виде:                                     z = r   ,   = r                                                                       (13)

 Эта запись называется показательной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Для комплексных показателей справедливы основные правила действий с показателями:

1) Правило: При умножении чисел показатели складываются.

                                          r₁                         (14)

2) Правило:При делении чисел показатели вычитаются.

                                                                                   (15)    

3) Правило:При возведении в степень показатели перемножаются.

                                               (r )ⁿ =                                        (16)

                                  *       (k = 0,1,2,…,n – 1)         (17)

Формула Эйлера (12) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменим в этой формуле у на φ и на – φ, получим

 =                             =

Складывая и вычитая эти равенства, получим:

                                                                                 (18)

                                                                                       (19)

Формулы (18) и (19), также называются формулами Эйлера.Они выражают тригонометрические функции через показательные.

Пример 11:Представьте в показательной форме комплексное число z = - 2 + 2 i.

Решение: Используя формулу (5), находим  r =  = 4. По формуле (13) найдём

 = ;      = .  По формуле (18) и (19) вычислим значение    = -   и = , т.о. φ = -

Ответ: z = 4

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

1. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а) z = 1 + i; б) z = 2 - 2i.

2. Решите квадратные уравнения: а) х² + х + 1 = 0; б) х² + 1 = 0

3. Даны два числа z₁ = 2 + 3i; z₂ = 1 – 2i. Найдите сумму и разность этих чисел.

4. Найдите х и у из уравнения: (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.

5. Дано z₁ =    z₂ =    Найдите z₁z₂

6. Представьте в экспоненциальной форме комплексное число 2 + 2i.

7. Дано z₁ = 2e ^{– I}; z₂ = 0.5e^0.5i. Найдите: z₁z₂

Ответы:1.а) r = ; φ = . б) r = ; φ = - .  2. а) - ; б) .  3. 3 + I и  1 + 5i. 4. x = -  ; y = . 5. ( ). 6. 2 . 7. e^{- 0.5i}.

Пределы.

Определение1:Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут  = А.

 Определение 2:Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если  = 0

Пример1:

Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если  = ± ∞.

Пример2: .

Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций:

1.Если f(х) – бесконечно малая функция, то  - бесконечно большая функция.

2.Если f(х) – бесконечно большая функция, то  - бесконечно малая функция.

Теоремы о пределах.

Теорема 1:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х):

                             (f(х) + g(х))= + g(x).

Теорема 2:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х):

                            (f(х) * g(х))=  f(x)*.

Теорема № 3:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х):

Следствия.

Следствие 1:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2:Предел степени равен степени пределов.

             = ( )ⁿ.

Следствие 3:  = с.