Дисперсия распределения ошибок равна дисперсии распределения выборочных средних.

В контексте программы SPSS стандартная ошибка используется для среднего значения, асимметрии и эксцесса Стандартная ошибка (standard error) является характеристикой точности, или стабильности, величины, для которой она вычисляется. Ее смысл заключается в следующем. Можно взять некоторое количество случайно выбранных значений генеральной совокупности, составить выборку и вычислить для нее среднее значение. Повторив эту операцию несколько раз, вы получите набор средних значений выборок, которые также представляют собой некоторое распределение. Стандартное отклонение этого распределения и будет являться стандартной ошибкой для среднего значения генеральной совокупности. Аналогичным способом вычисляются стандартные ошибки для асимметрии и эксцесса. Чем меньше значение стандартной ошибки, тем выше стабильность величины, для которой она вычисляется.

Форма распределения ошибок выборок такая же, как у распределения выборочных средних, то есть оба распределения можно считать   нормальными или похожими на них.  

Для любого нормального распределения 95% наблюдений попадают в интервал ±2 стандартных отклонения от среднего, 68 наблюдений % – в интервал ±1,99.

Так как среднее генеральной совокупности

μ =  ± ошибка среднего

а ошибка среднего – это стандартное отклонение ошибок выборок, то можно заключить, что с 95% вероятностью доверительный интервал для среднего генеральной совокупности μ.

μ = ± 2

При этом распределение выборочных средних должно быть нормальным, что имеет место либо когда распределение выборочной совокупности является нормальным, либо когда в выборке число наблюдений составляет величину более 30.

Чтобы посчитать ошибку среднего, нам надо знать число выборки и стандартное отклонение генеральной совокупности, которое как правило, неизвестно.

Доказано, что соотношение между генеральной дисперсией σ² и выборочной дисперсией S² определяется следующим равенством:

  σ² = S²(n/(n–1)).

Если n велико, то сомножитель n/(n – 1) ≈ 1 и можно принять выборочную дисперсию в качестве оценки величины генеральной дисперсии.

Поэтому стандартное отклонение выборки S можно принимать как приближенное значение стандартного отклонения генеральной совокупности σ.

Тогда вместо формулы

можно использовать

или с 95% вероятностью:

μ =  ± 2

Зачастую в исследованиях используется уровень доверия 90, 95 или 99 %.

В зависимости от выбранного доверительного уровня определяется константа доверительных уровней z, участвующая в формуле расчета статистической ошибки выбор­ки.  

  Константы доверительных уровней

Максимальная статистическая ошибка выборки рассчитывается по следующей формуле:

p=q=50% – вероятность наступления/ненаступления исследуемого события (то есть попадания/непопадания респондента в выборку); для случайных выборок данная ве­роятность равна 1/2 или 50 %; n — размер выборки (общее количество опрошенных).

Таким образом, для выборки в 1000 респондентов и при уровне доверия к резуль­татам опроса 95 % статистическая ошибка выборки будет равна:

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью α покрывает оцениваемый параметр. Доверительный интервал служит для оценки математического ожидания α случайной величины X, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении Ϭ

 – точность оценки

 – выборочное среднее
t - аргумент функции Лапласа, при котором Ф(t)= α/2

Пример: найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания α нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если среднее квадратическое отклонение Ϭ=5, выборочная средняя  =20 и объем выборки n=100.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

Найдем t из соотношения Ф(t)= 0,9/2= 0,45 =0,6 .

По таблице приложения функции Лапласа находим t=0,6 получаем доверительный интервал .

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то для оценки величины точности оценки служит доверительный интервал

где t_α находится в таблицах по заданным n и α, а вместо s часто бывает возможно подставить любую из оценок

 - исправленное среднеквадратическое, статистическое среднеквадратическое отклонения соответственно. При увеличении n обе оценки будут различаться сколь угодно мало и будут сходиться по вероятностям к одной и той же величине Ϭ.

Пример 167.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

n = 50:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание α нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней.

Решение. Выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам

Для α=0,95 и n =50 t=2,01

 доверительный интервал: 0,64<x<1,36

Пример:Результаты исследования длительности оборота (в днях) оборотных средств торговых фирм города представлены в группированном виде:

Построить доверительный интервал с надежностью 0,99 для средней длительности оборотных средств торговых фирм города.

Решение. Найдем выборочную среднюю длительности оборотных средств.

Для α=0,99 и n =50 t=2,68

 доверительный интервал: 48,6<x<57,3