Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Необходимый признак сходимости числовых рядов
Следствие.Если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится.
ПРИМЕРЫ:
1. Гармонический ряд расходится, несмотря на то, что . 2. Обобщенный гармонический ряд сходится при a > 1 и расходится при a £ 1, хотя и выполнено условие . 3. Числовой ряд расходится, поскольку .
Таким образом, если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится, если же предел общего члена ряда равен нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться. Для окончательного исследования сходимости числовых рядов с положительными членами (т.е. рядов, для которых an > 0 при любых n Î N) наиболее часто применяются следующие два достаточных признака.
Признак сравнения рядов
ПРИМЕРЫ: 1. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а геометрический ряд сходится, т.к. , то сходится и исходный ряд (по признаку сравнения рядов). 2. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения рядов будет расходиться и исходный ряд.
Признак Даламбера
ПРИМЕРЫ: 1. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:
, Следовательно, на основании признака Даламбера ряд сходится. 2. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел: . Следовательно, на основании признака Даламбера нельзя сделать вывода о сходимости данного ряда, и требуется проведение дополнительных исследований.
Знакочередующимся называется числовой ряд, если его члены поочередно являются положительными и отрицательными, т.е. если он имеет вид: , где для всех n Î N Сn > 0. Для этих числовых рядов существует признак сходимости, который является необходимым и достаточным.
Признак Лейбница
ПРИМЕРЫ: 1. Исследуйте сходимость ряда . Для этого ряда выполняется неравенство , а также равенство , поэтому на основании признака Лейбница заключаем, что данный ряд сходится.
2. Исследуйте сходимость ряда . Убедившись, что для данного ряда выполняется неравенство, противоположное требуемому: , а также, что , можно сделать вывод, что данный ряд расходится.
Знакопеременным называется числовой ряд, любой член которого может быть как положительным, так и отрицательным.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 233. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |