Необходимый признак сходимости числовых рядов

Если числовой ряд  сходится, то предел его общего члена равен нулю, т.е. .

Следствие.Если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится.

ПРИМЕРЫ:

1. Гармонический ряд  расходится, несмотря на то, что .

2. Обобщенный гармонический ряд  сходится при a > 1 и рас­­­­хо­дится при a £ 1, хотя и выполнено условие .

3. Числовой ряд  расходится, поскольку .

Таким образом, если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится, если же предел общего члена ряда равен нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Для окончательного исследования сходимости числовых рядов с положительными членами (т.е. рядов, для которых a_n > 0 при любых n Î N) наиболее часто применяются следующие два достаточ­ных признака.

Признак сравнения рядов

Если для всех n Î N выполняется неравенство an £ bn, то,  если сходится ряд , то сходится и ряд , если  же расходится ряд , то расходится и ряд .

ПРИМЕРЫ:

1. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а геометрический ряд  сходится, т.к. , то сходится и исходный ряд (по признаку сравнения рядов).

2. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а гармонический ряд  расходится, то по признаку сравнения рядов будет расходиться и исходный ряд.

Признак Даламбера

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения . Тогда: 1). Если p < 1, то ряд сходится. 2). Если p > 1, то ряд расходится. 3). Если p = 1, вопрос о сходимости ряда требует дополнительных исследований.

ПРИМЕРЫ:

1. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:

,

Следовательно, на основании признака Даламбера ряд сходится.

2. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:

.

Следовательно, на основании признака Даламбера нельзя сделать вывода о сходимости данного ряда, и требуется проведение дополнительных исследований.

Знакочередующимся называется числовой ряд, если его члены поочередно являются положительными и отрицательными, т.е. если он имеет вид: , где для всех n Î N С_n > 0.

Для этих числовых рядов существует признак сходимости, который является необходимым и достаточным.

Признак Лейбница

Если для членов знакочередующегося ряда выполняется неравенство Cn ³ Cn+1 и существует и равен нулю предел , то ряд этот сходится, а его сумма S £ C1.

ПРИМЕРЫ:

1. Исследуйте сходимость ряда .

Для этого ряда выполняется неравенство , а также равенство , поэтому на основании признака Лейбница заключаем, что данный ряд сходится.

2. Исследуйте сходимость ряда .

Убедившись, что для данного ряда выполняется неравенство, противоположное требуемому: , а также, что

, можно сделать вывод, что данный ряд расходится.

Знакопеременным называется числовой ряд, любой член которого может быть как положительным, так и отрицательным.