Основные понятия и определения

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 23Следующая ⇒

Пусть функция y = f (x) определена и неотрицательна на отрезке [a, b] и a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:

В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку , а длину такого отрезка обозначим .

Составим сумму σ следующим образом:

Будем называть такую сумму интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b]. Геометрический смысл этой суммы очевиден – это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами . Если через λ обозначить наибольшую из длин и учесть факт, что из условия λ→0 вытекает условие n→∞ , то можно сформулировать следующее определение.

Определение.Если существует конечный предел J интегральных сумм σ при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

При этом числа а и b называются пределами интегрирования, а функция f (x) – подынтегральной функцией.

Из приведенного определения следует геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной на отрезке [a, b] функции f (x) – это площадь криволинейной трапеции, ограниченной основаниями х = а и х = b, а также боковыми сторонами – отрезком [a, b] и кривой линией – графиком функции y = f (x).

Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю

2. Если поменять пределы интегрирования местами, определенный интеграл изменит знак

3. Для любых чисел а, b и с справедливо равенство

4. Постоянный множитель, не равный нулю, можно выносить за знак определенного интеграла

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций

6. Если для всех справедливо неравенство , то справедливо неравенство

7. Если в определенном интеграле верхний предел положить равным переменной , то такой интеграл становится функцией от х:

,

а производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке х.

8. Теорема о среднем.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует точка такая, что справедливо равенство

Формула Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы, сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла (точнее, первообразной подынтегральной функции) с последующей подстановкой пределов интегрирования.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция F(x) – какая-либо ее первообразная, то

ПРИМЕР:

Использование формулы Ньютона-Лейбница возможно и в случае вычисления определенного интеграла методом замены переменной.

где новые пределы интегрирования в правом интеграле находят по формуле обратной замены , т.е. , и не требуется в результате обратного перехода к первоначальной переменной интегрирования.

ПРИМЕР:

При вычислении определенного интеграла по частям также используется формула Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР:

Приложения определенного интеграла

Вначале рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая геометрического приложения определенного интеграла.

Случай 1. Для неотрицательной непрерывной функции y = f (x), заданной на отрезке [a, b], площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f (x) (заштрихована на рис. 15), определяется формулой:

Рис. 15.

ПРИМЕР: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = x², заданной на отрезке [0, 1].

Искомая площадь S будет равна:

Случай 2. Если на отрезке [a, b] заданы две непрерывные и неотрицательные функции f (x) и g (x), причем всюду на отрезке выполняется неравенство f (x) ≤ g (x), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками этих функций (заштрихована на рис. 16), будет определяться формулой:

Рис. 16.

ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y₁= 1 – x²; y₂= x²+ 2, x = 0, x = 1.

Поскольку на заданном отрезке интегрирования [0, 1] выполняется неравенство y₂ > y₁, искомая площадь будет равна:

Случай 3. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной только графиками функций f (x) и g (x). Для решения этой задачи обычно используется формула случая 2. При этом в качестве пределов интегрирования используются корни уравнения f (x) = g (x), а на первое место в формуле случая 2 ставится та функция, которая не превышает другую на отрезке, определяемом найденными пределами интегрирования. Итак, площадь фигуры, заштрихованной на рис. 17, будет определяться формулой:

Рис. 17.

ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y₁ = x² и y₂ = 2 – x².

Вначале найдем пределы интегрирования, решив уравнение y₁ = y₂, или x² = 2 – x². В результате получим: a = - 1, b = 1. Поскольку на отрезке [-1, 1] выполняется неравенство y₂ ≥ y₁, искомую площадь найдем по формуле:

Теперь рассмотрим одно из экономических приложений определенного интеграла. Пусть функция f (t) задает производительность труда в момент времени t, тогда объем продукции, выпущенный за время T, будет определяться формулой:

ПРИМЕР: Найти объем продукции, произведенной за 3 часа, если производительность труда определяется функцией .

Этот объем равен:

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 273.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...