Метод непосредственного интегрирования

Метод вычисления неопределенных интегралов сличением с табличными интегралами, с использованием основных свойств неопределенных интегралов, а также тождественных преобразований подынтегральных функций называется методом непосредственно­го интегрирования.

Метод замены переменной

Во многих случаях удачное введение новой переменной интегри­рования позволяет свести операцию нахождения интеграла к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

В основе метода замены переменной лежит формула:

 

 

В этой формуле   и есть замена переменной. В результате вычисления интеграла в правой части формулы получится функция, зависящая от аргумента t, поэтому, чтобы вернуться к первоначальной переменной х, нужно в полученном результате провести обратную замену  

 

ПРИМЕРЫ:

 

 

Рациональной тригонометрической функцией от перемен­ных sin x и cos x называется выражение, в котором над этими пере­мен­ными производятся арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление).

ПРИМЕР: Выражение   является рациональ­ной тригонометрической функцией.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций сводится к интегрированию рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

при этом

ПРИМЕР:

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции, тогда можно записать: d(uv) = v∙du + u∙dv, или: u∙dv = d(uv) − v∙du, и окончательно получить формулу:

Метод интегрирования по частям и заключается в применении этой формулы. Эта формула позволяет свести вычисление первоначального интеграла в левой части формулы к вычислению интеграла в правой части формулы, который при удачном разделении подынтегрального выражения заданного интеграла на составные части u и dv может оказаться либо сразу табличным, либо более простым, чем исходный интеграл.

ПРИМЕРЫ: