Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных

ПРИМЕР: Для функции  частные производные существуют во всех точках и соответственно равны:  Поскольку они непрерывны во всех точках, то данная функция будет дифференцируемой во всех этих точках.

Градиентом функции двух переменныхz = f (x, y) называется вектор с координатами , т.е.:

Вектор градиента в данной точке показывает направление максимальной скорости возрастания функциив этой точке. Вторым важным свойством вектора градиента является следующее: вектор градиента в данной точке перпендикулярен касательной к линии уровня, проведенной через эту точку (рис. 21):

Рис. 21.

ПРИМЕР:Найдите координаты вектора градиента функции  в точке М (2, 2).

Найдем значения частных производных заданной функции в заданной точке:

Таким образом, можно записать:

Частные производные и полные дифференциалы     

Второго порядка

Пусть имеется функция двух переменных z = f (x, y), которая в каждой точке своей области определения Х имеет частные производные  и . Эти производные (назовем их производными первого порядка), в свою очередь можно рассматривать как некоторые функции двух переменных  и .

Частными производными второго порядка функции         z = f (x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка этой функции. Они могут иметь вид:

Первые две из них принято называть повторными или просто вторыми частными производными функции z = f (x, y), а две других называются смешанными частными производными.

Если функция z = f (x, y) непрерывна на множестве Х и имеет на этом множестве непрерывные смешанные производные, то значения смешанных производных не зависят от порядка их вычисления, т.е.

Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) назы­ва­ет­ся величина:

Заметим, что по своей структуре дифференциал второго порядка функции двух переменных представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов, т.е. может быть записан в виде:

Экстремумы функций нескольких переменных

Точка M (x₀, y₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f (x, y), если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство . Точки мак­си­­­­му­ма и минимума называются точками экстремума.