Предел функции в точке и в бесконечности

Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве Х, а некоторое число х₀ принадлежит этому множеству, или не принадлежит ему.

Определение 1. Число А называется пределом функции f (x) в точке х₀ (или при х→х₀), если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента {x_n}, отличных от х₀, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу А. При этом записывают:

ПРИМЕР: Предел функции y = x² в точке х₀ = 2 равен 4, или:

Определение 2.Число А называется правым (левым) преде­лом функции f (x) в точке х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента, элементы x_n которой больше (меньше) числа х₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Приняты следующие обозначения таких пределов: правый предел ; левый предел

ПРИМЕР: Для функции   определенной для всех х ≠ 0 на основании определения модуля имеем:

ПРИМЕР:Функция, рассмотренная в предыдущем примере, в точке х₀ = 0 предела не имеет, поскольку существующие правый и левый пределы этой функции в этой точке не равны между собой.

Можно определить предел функции в точке и другим способом на языке (ε, δ).

Определение 3.Число А называется пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее от ε) такое, что для всех  и удовлетворяю­щих неравенству , выполняется неравенство .

Геометрический смысл этого определения состоит в том, что если число А является пределом функции f (x) в точке х₀, то для всех значений аргумента х, содержащихся в δ – окрестности точки х₀ , соот­ветствующие значения функции попадут в ε – окрестность числа А (рис. 4):

Рис.4.

Определение 4. Предел функции y = f (x) в точке х₀ равен         +∞ (−∞), если для любой последовательности {x_n} значений аргумента, сходящейся к х₀, соответствующая последовательность значений функции {f (x_n)} является бесконечно большой, т.е. имеет своим пределом + ∞ (− ∞).

Аналогично определяются правый и левый бесконечные пределы функции в точке.

ПРИМЕРЫ:Для функции   имеем: . Для функции  можно записать: .

Определение 5. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

ПРИМЕР:Для функции  в соответствии с определением можно записать .

Для пределов функций выполняются следующие важные для практического применения свойства:

Существуют два стандартных предела, которые традиционно называются замечательными.

Первый замечательный предел: .

ПРИМЕРприменения:

Второй замечательный предел: .

ПРИМЕРприменения:

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f (x)называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.: .

ПРИМЕРЫ:

1. Функция y = x² будет непрерывной в точке х₀ = 2, поскольку выполнено условие определения: предел этой функции и ее значение в этой точке равны между собой и равны 4.

2. Функция y = 1/x не будет непрерывной в точке х₀ = 0, поскольку в этой точке не существует предел функции, а также не определена сама функция.

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции в точке. Дадим аргументу х₀ приращение Δх, тогда функция y = f (x) получит приращение Δy = f (x₀ + Δx) – f (x₀). Заметим, что в этом случае условия Δх →0 и х →х₀ будут равносильны.

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀ , если она определена в некоторой окрестности этой точки и при приращении аргумента, стремящегося к нулю, приращение функции также стремится к нулю, т.е. .

Перечислим основные свойства функций, непрерывных в точке: