Понятие о производных высших порядков

Пусть y = f (x) – дифференцируемая на некотором промежутке функция. Тогда ее производную можно рассматривать как некоторую новую функцию аргумента х, и, следовательно, ставить вопрос о вычислении производной от этой новой функции: . Такая производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f (x). По аналогии определяются производные более высоких порядков.

ПРИМЕР: Для функции y = x³ имеем:  и

Примеры решения задач

Задача 1.Найдите уравнение касательной к графику функции  в точке М (2, 4).

Решение. Любая прямая, проходящая через точку М, будет иметь уравнение: . Очевидно, что и касательная к графику рассматриваемой функции будет иметь такое же уравнение. Неизвестный нам угловой коэффициент k может быть найден, исходя из условия, что угловой коэффициент касательной численно равен значению производной функции, вычисленной в точке касания: . Таким образом, искомое уравнение можно записать в виде: 4x – y – 4 = 0.

Задача 2.Для функции спроса D (p) = 40 – 2p найдите эластич­ность спроса по цене при p = 4.

Решение.Используя формулу для эластичности функции, имеем:

.

Подставляя в эту формулу значения: , получим:

Полученный результат означает, что при возрастании цены на 1%, спрос упадет на 0,25%, т.е. в рассматриваемом случае спрос будет неэластичным.

Основные теоремы о свойствах дифференцируемых функций

Теорема Ферма

Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в этой точке существует производная, то она равна нулю, т.е.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точках максимума и минимума функции касательная к ее графику горизонтальна, т.е. составляет нулевой угол с осью абсцисс.

Теорема Ролля

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f (a) = f (b), то существует хотя бы одна точка  такая, что

Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется такая точка , в которой выполняется условие:

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если угловой коэффициент секущей М₁М₂ равен отношению приращения функции на отрезке [a, b] к длине этого отрезка, то на интервале (a, b) обязательно найдется такая точка c, что касательная, проведенная к графику функции в точке М₀ (c, f (c)), будет иметь такой же угловой коэффициент, как у секущей (рис. 6).

Рис. 6.

Правило Лопиталя

Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в точке х₀ и выполняется равенство: , то справедлива формула:

Приведенную формулу можно сформулировать в виде правила Лопиталя:

Это правило остается верным и в случае, когда  и , а также и в том случае, когда под знаком предела имеется неопределенность вида: , т.е.:

ПРИМЕР:

Поскольку неопределенности вида  могут быть сведены к неопределенностям вида , то к раскрытию таких неопределен­ностей также можно применять правило Лопиталя. Кроме того, правило Лопиталя после логарифмирования можно применять для раскрытия неопределенностей видов .