Алгоритм отыскания локальных экстремумов функции

ПРИМЕРЫ:

1. Найдите экстремум функции y = x². Следуя приведенному алгоритму, запишем: . Решением полученного уравнения будет единственная стационарная точка х₀ = 0. Очевидно, слева от этой точки производная функции будет отрицательна, а справа – положительна. Следовательно, стационарная точка х₀ = 0 есть точка минимума данной функции.

2. Найдите экстремум функции y = x³. Аналогично предыдущему примеру запишем:  Очевидно, что слева и справа от единственной стационарной точки х₀ = 0 производная функции положительна. Следовательно, в этой точке экстремума нет. В этом можно убедиться и применив достаточный признак № 2. Имеем:  и , т.е. и этот признак указывает на отсутствие экстремума в этой точке.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

ПРИМЕР: Найти наибольшее и наименьшее значения функции    f (x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + 2 на отрезке [ - 2. 3].

Следуя приведенному алгоритму, вычислим производную заданной функции и, приравняв ее к нулю, получим уравнение вида: х³ – х² – 2х = 0. Корни этого уравнения: х₁ = - 1, х₂ = 0 и х₃ = 2 являются стационарными точками, принадлежащими заданному отрезку. Добавим к этим стационарным точкам граничные точки отрезка и вычислим значения функции во всех этих точках:

f (- 2) = 34; f (- 1) = - 3; f (0) = 2; f (2) = - 30; f (3) = 29.

Сравнение полученных значений показывает, что функция достигает своего наименьшего значения в стационарной точке х = 2, а наибольшего значения – на конце отрезка в точке х = - 2 (рис. 8):

Рис. 8.

Направление выпуклости и точки перегиба графика функции

Определение. График функции y = f (x) имеет на интервале  (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале (рис. 9):

Рис. 9.

Используя производные второго порядка, можно сформули­ровать достаточный признак направления выпуклости графика функции: