Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Алгоритм отыскания локальных экстремумов функции
ПРИМЕРЫ: 1. Найдите экстремум функции y = x2. Следуя приведенному алгоритму, запишем: . Решением полученного уравнения будет единственная стационарная точка х0 = 0. Очевидно, слева от этой точки производная функции будет отрицательна, а справа – положительна. Следовательно, стационарная точка х0 = 0 есть точка минимума данной функции. 2. Найдите экстремум функции y = x3. Аналогично предыдущему примеру запишем: Очевидно, что слева и справа от единственной стационарной точки х0 = 0 производная функции положительна. Следовательно, в этой точке экстремума нет. В этом можно убедиться и применив достаточный признак № 2. Имеем: и , т.е. и этот признак указывает на отсутствие экстремума в этой точке.
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
ПРИМЕР: Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2 на отрезке [ - 2. 3]. Следуя приведенному алгоритму, вычислим производную заданной функции и, приравняв ее к нулю, получим уравнение вида: х3 – х2 – 2х = 0. Корни этого уравнения: х1 = - 1, х2 = 0 и х3 = 2 являются стационарными точками, принадлежащими заданному отрезку. Добавим к этим стационарным точкам граничные точки отрезка и вычислим значения функции во всех этих точках: f (- 2) = 34; f (- 1) = - 3; f (0) = 2; f (2) = - 30; f (3) = 29. Сравнение полученных значений показывает, что функция достигает своего наименьшего значения в стационарной точке х = 2, а наибольшего значения – на конце отрезка в точке х = - 2 (рис. 8): Рис. 8.
Направление выпуклости и точки перегиба графика функции Определение. График функции y = f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале (рис. 9):
Рис. 9. Используя производные второго порядка, можно сформулировать достаточный признак направления выпуклости графика функции:
Определение. Точка M (x0, f (x0)) называется точкой перегиба графика функции y = f (x), если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости.
Из приведенного определения следует, что точка перегиба – это точка экстремума первой производной функции. На этом основании можно сформулировать следующие утверждения.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 259. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |