Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого числа A > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется  неравенство Ι x_n Ι > A.

Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι α_n Ι < ε.

ПРИМЕРЫ:

1. Последовательность {n} = {1, 2, 3, …} будет бесконечно большой, т.к. какое бы большое число А мы не взяли (например,     А = 1000), для него найдется номер N (например N = 1000) такой, что для всех номеров, превышающих этот номер, элементы последовательности будут больше этого заданного числа А (например, x₁₀₀₁ = 1001 > 1000 = A, x₁₀₀₂ = 1002 > 1000 = A и т.д.).

2. Последовательность {1/n} = {1, 1/2, 1/3, …} будет бесконечно малой, т.к. какое бы малое число ε мы не взяли (например, ε = 1/1000), для него найдется номер N (например, N = 1000) такой, что для всех номеров, превышающих этот номер, элементы последовательности будут меньше этого заданного числа ε (например,  x₁₀₀₁ = 1/1001 <        < 1/1000 = ε и т.д.).

Сумма, разность, произведение бесконечно малых последовательностей и произведение бесконечно малой последовательности на число будут являться также бесконечно малыми последовательностями.

 Если последовательность {x_n} – бесконечно большая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {α_n} = {1/x_n} будет бесконечно малой. Справедливо и обратное утверждение.

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι x_n – a Ι < ε.

Неравенство Ι x_n – a Ι < ε можно переписать в следующем виде:  a – ε < x_n < a + ε. Геометрически последние неравенства означают, что числа x_n принадлежат интервалу (а – ε, а + ε). Поэтому понятие предела имеет следующую геометрическую интерпретацию: число а будет являться пределом последовательности {x_n}, если для любого интервала (а – ε, а + ε) существует номер N такой, что для всех номеров, больших этого номера, соответствующие элементы последовательности обязательно будут принадлежать указанному интервалу.

Существование предела последовательности {x_n} обозначается следующим образом:

Бесконечно большие последовательности не имеют предела, поэтому принято считать, что они имеют бесконечный предел, и писать: .

Бесконечно малые последовательности имеют предел, равный нулю, т.е.: .

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет, или имеет бесконечный предел.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для всех элементов последовательности выполняется неравенство Ι x_n Ι< M.

Для отыскания пределов различных последовательностей существуют полезные правила, справедливые только для сходящихся последовательностей.