Рекурсивные фильтры частотной выборки

    Фильтры частотной выборки в рекурсивной форме значительно выгоднее вычислительно, чем фильтры в нерекурсивной форме, если значительное число частотных выборок имеет нулевые значения. Можно показать, что передаточную функцию КИХ-фильтра H(z) можно записать в рекурсивном виде:

где:

,

Таким образом, очевидно, что в рекурсивной форме H(z) можно рассматривать как каскад из двух фильтров: гребенчатого фильтра H₁(z), который имеет N нулей, равномерно распределенных на единичной окружности, и суммы N фильтров с одним полюсом H₂(z). Нули гребенчатого фильтра и полюса однополюсных фильтров совпадают на единичной окружности в точках z_k = e^iπk/N. Следовательно, нули компен­сируют полюса, и поскольку H(z) не имеет полюсов, то это – конечная импульсная характеристика (КИХ).

На практике конечная длина слова приводит к тому, что полюса H₂(z) располагают­ся не точно на единичной окружности, так что они уже не уравновешиваются нулями и H(z) становится потенциально неустойчивой бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Проблем устойчивости можно избежать, дискретизируя H(z) на окружности радиуса r, который незначительно меньше единицы. В этом случае передаточная функция становится такой:

Вообще, частотные выборки Н(к) – это комплексные величины. Следовательно, непосредственная реализация вышеприведенных уравнений потребует комплексной арифметики. Чтобы избежать этого усложнения, воспользуемся симметрией, присущей частотной характеристике любого КИХ-фильтра с действительной импульсной характеристикой h(n). Можно показать, что для обычного частотно-избирательного фильтра с линейной фазовой характеристикой (четно-симметричная импульсная характеристика) последнее уравнение можно представить в виде

где а = (N – 1)/2. При нечетном N М = (N – 1)/2, при четном N М = N/2 – 1.

Метод частотной выборки: резюме

1) Задать идеальную или желаемую частотную характеристику, затухание в полосе подавления и границы полос целевого фильтра.

2) Исходя из спецификации выбрать фильтр частотной выборки первого (выборки берутся с интервалом kF_s/N) или второго типа (выборки берутся с интервалом (K + 1/2)F_s/N).

3) Использовать спецификацию (этап 1) и таблицы разработки для определения N, числа частотных выборок идеальной частотной характеристики, М, числа выборок в полосе перехода, ширины полосы перехода, числа частотных выборок в полосе пропускания и T_i, значений выборок в полосе перехода (i = 1,2,..., М).

4) Использовать подходящее уравнение для расчета коэффициентов фильтра.

Вместо этапов 2 и 4 можно использовать компьютерную программу с реализацией генетического алгоритма.