Методы расчета коэффициентов КИХ-фильтра

Единственной целью большинства методов вычисления (или приближенного вычисления) коэффициентов КИХ-фильтров является получение значений h(n), при кото­рых фильтр удовлетворяет спецификациям, в частности, относящимся к амплитудно-частотной характеристике, и требованиям к пропускной способности. Разработано несколько методов получения h(n). Наиболее широко используемыми из них являются метод вырезания, оптимальный метод и метод частотной выборки. Все три метода позволяют получать КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой.

 1.6.1. Метод взвешивания

В данном методе используется факт, что частотная характеристика фильтра H_D(ω) и соответствующая импульсная характеристика h_D(n) связаны обратным преобразованием Фурье:

(1)

Индекс D используется, чтобы различать идеальную и практическую импульсные характеристики. Необходимость такого разделения станет понятна несколько позже. Если H_D(ω) известна, h_D (n) можно получить, применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1). Для иллюстрации предположим, что требуется разработать фильтр нижних частот. Начать можно с идеальной фазовой характеристики.

Допустив, что характеристика идет от – ω_c до ω_c, упрощаем интегрирование и получаем следующую импульсную характеристику:

, n≠0, -∞≤n≤∞ (2)

= , n = 0 (используем правило Лопиталя).

импульсные характеристики идеальных фильтров верхних частот, полосовых фильтров и режекторных фильтров также находятся из уравнения (2) и все они приведены в табл.2. Импульсная характеристика фильтра нижних частот h_D (n) симметрична относительно n = 0 (т.е. h_D(n) = h_D(-n)), так что фильтр будет иметь линейную (в данном случае – нулевую) фазовую характеристику. Описанный простой подход связан с некоторыми проблемами. Важнейшая из них – хотя характеристика h_D(n) уменьшается при удалении от точки n=0, она длится теоретически до n= ±∞. Следовательно, полученный фильтр не является КИХ-фильтром.

Очевидным является решение усечь идеальную импульсную характеристику, положив h_D(n)=0 для n больше, чем (скажем) М. При этом вводится нежелательная неравномерность и выбросы – имеет место так называемый эффект Гиббса. Чем больше коэффициентов осталось, тем ближе спектр фильтра к идеальной характеристике. Прямое усечение h_D(n), как оно описано выше, равносильно умножению идеальной импульсной характеристики на прямоугольную весовую функцию вида:

w(n) = l, |n| = 0,1,...,(М-1)/2 = 0.

Таблица 2

Идеальные импульсные характеристики стандартных частотно-избирательных фильтров

	Идеальная импульсная характеристика, hD(n)
Тип фильтра	hD(n), n≠0	hD(0)
Фильтр нижних частот
Фильтр верхних частот
Полосовой фильтр
Заграждающий

f_c, f₁ и f₂ – нормированные частоты краев полос пропускания или подавления; N – длина фильтра

Рис. 2. Иллюстрация определения коэффициентов фильтра h(n) с помощью метода взвешивания

В частотной области это эквивалентно свертке H_D(ω) с W(ω), где W(ω) — Фурье–образ w(n). Тогда как W(ω) имеет классический вид функции (sin х)/х, усечение h_D(n) приводит к появлению в частотной характеристике выбросов.

На практике идеальная частотная характеристика h_D множится на подходящую весовую функцию w(n) с конечной длительностью. Таким образом, получающаяся импульсная характеристика гладко затухает до нуля. Данный процесс иллюстрируется на рис. 2. На рис. 2, а показана идеальная частотная характеристика и соответствующая идеальная импульсная характеристика. На рис. 2, б показана весовая функция конечной длительности и ее спектр. На рис. 2, в показана функция h(n), которая получается перемножением h_D(n) и w(n). Из соответствующей частотной характеристики видно, что неравномерности и выбросы, характерные для прямого усечения, в значительной степени подавлены. В то же время, ширина полосы перехода больше, чем для прямоугольной функции. Известно, что ширина полосы перехода фильтра определяется шириной основного лепестка весовой функции. Боковые лепестки приводят к появлению неравномерности в полосах пропускания и подавления.