Сравнение выборочных средних. Дисперсионный анализ.

В ходе исследований часто возникает необходимость сравнения резуль-татов измерения, представленных двумя выборками (например, произ­води­тельность новой машины сравнивается с базовым вариантом). Сравнивая выборочные средние, нужно быть уверенным, что разница между ними значима, т.е. вызвана изменениями в конструкции машины, а не является результатом погрешностей опытов.

Таблица 6.4 – Значения критерия G_α (f₁, f₂) при уровне значимос­ти α = 0,05

Пусть для каждой из выборок определены выборочные средние ,  и дисперсии  и , причем дисперсии выборок однородны (в противном случае сравнивать выборочные средние нельзя!). Обозначим разницу между выборочными средними

                                             .                                            (6.36)

Поскольку выборочные средние есть случайные величины, величина Z также случайна. Доверительный интервал для этой величины

                              ,

где m_Z и S_Z – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение Z.

 Исходя из выражения (6.36) с учетом свойств (6.21) и (6.25) дисперсии, диспер­сия Z составит

                       или     ,                (6.38)

где  и  – дисперсии выборочных средних; n₁ и n₂ – объемы первой и второй выборок.

Предположим, что различие между  и  незначимо, т.е. обусловлено случайными погрешностями. Тогда математическое ожидание Z равно нулю и доверительный интервал

                ,    или    .              (6.37)

Следовательно, если Z выходит за пределы указанного интервала, можем утверждать, что различие между выборочными средними  и значимо.

Критерий t_f,α берется для соответствующего уровня значимости и суммарного числа степеней свободы двух дисперсий f = n₁ + n₂ – 2.

Если эксперимент проводится с целью аппроксимации зависимости некото­рого параметра от одного или нескольких факторов, необходимо определить значимость влияния каждого из факторов на параметр. Такая процедура называется дисперсионным анализом.

Предположим, что необходимо установить, влияет ли изменение в задан­ном интервале фактора x на параметр y. Установим m уровней фактора. На каждом уровне поставим по n параллельных опытов и определим выборочное среднее и дисперсию значений y для каждого уровня:

              и ,            (6.38)

где y_ui — значение y, измеренное в i-м опыте из серии опытов, проведенных при u-м уровне фактора x. Результаты сведем в табл. 6.5.

Если дисперсии  однородны, что проверяется по критерию Кохрена, то можем определить средневзвешенную дисперсию погрешностей всех выборок:

                                           .                                         (6.39)

Таблица 6.5 – Данные для дисперсионного анализа

Уровни фактора	Номер опыта при заданном уровне фактора						Выбо­рочное среднее	Дис­пер­сия
	1	2	…	і	…	n
1	y11	y12	…	y1i	…	y1n
2	y21	y22	…	y2i	…	y2n
…	…	…	…	…	…	…	…	…
u	yu1	yu2	…	yui	…	yun
…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	ym1	ym2	…	ymi	…	ymn

Рассмотрим совокупность выборочных средних  как реализации неко­то­рой случайной величины, образующие выборку объемом m. Найдем среднее и дисперсию этой выборки:

               и .             (6.40)

Дисперсия  обусловлена двумя факторами: погрешностями определе­ния выборочных средних  и влиянием фактора x. Для выяснения значимости последнего выполним проверку однородности дисперсий  и . Если

                   ,                 (6.40)

— дисперсии однородны, следовательно изменение выборочных средних обуслов­лено случайными погрешностями, а влияние фактора — не значимо. В противном случае — дисперсии неоднородны, и можем утверждать, что фактор x оказывает значимое влияние на параметр.