Погрешности косвенных измерений

Часто интересующая нас величина непосредственно не может быть измерена, а определяется как функция других величин, которые находят­ся опытным путем. Например, расход воздуха в прямоугольном канале

                                             ,                                            (6.26)

где h и b — высота и ширина канала; v_ср — средняя ско­рость воздуха. Для определения расхода измеряют ширину, высоту канала и среднюю скорость воздуха. При измерениях этих величин допускаются погрешности. Оценка их может быть выполнена по рассмотренной методике.

Погрешность определяемой величины зависит от погрешно­стей измеря­емых величин и от вида функциональной связи между ними. Предположим, что величина, погрешность которой необходимо оп­ределить, является произволь­ной функцией k измеряемых переменных

                                  ,                                (6.27)

Поставив ряд параллельных опытов, найдем оценки  и  математи­ческого ожидания m_xi и дисперсии D_xi для каждой i-й величи­ны. Необходимо определить оценки  и   математического ожидания m_y и дисперсии D_y для иско­мой величины.

Распространив свойство (6.17) математического ожидания на его оценку, можем утверждать, что

           и .         (6.28)

Представим случайные величины x_i в виде , где Δx_i — отклонение величины от ее математического ожидания.

Если функция φ непрерывна и во всех точках интересующего нас интер­вала имеет производные, то ее, можно разложить в ряд Тейлора. Выполним эту операцию и оставим в ряде только линейные члены:

              .

С учетом (6.26) и (6.27)

            или   

Возведем правую и левую части последнего равенства в квадрат и найдем математические ожидания левой и правой частей:

 Левая часть равенства есть дисперсия y (6.19). Раскрыв скобки в правой части, получим

             ,

или, с учетом свойств (6.15) и (6.16) математического ожидания

          .

Поскольку математическое ожидание квадрата отклонения случайной величи­ны от ее математического ожидания есть дисперсия, а математическое ожидание произведения отклонений двух величин есть их корреляция, для независимых случайных величин равная нулю,

  и    ,   получим

                             .                                     (6.29)

Заменив дисперсии x_i их оценками по выборке , получим зависимость для определения оценки дисперсии величины y:

                              .                                      (6.30)

Например, для случая (6.25) ,  и . Тогда

                         .

В случае, если точность измерения параметров h и b значительно выше, чем точность измерения v_ср, погрешностями этих величин можем пренебречь. Тогда .