Объём шара, ограниченного сферой

Часть 3 «Основы планиметрии»

1. Внешний угол треугольника. Определение. Свойство.

Определение. Внешний угол – угол, дополняющий внутренний угол до 180 градусов.

Свойство: 1. Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

2. Теорема о сумме углов треугольника. Следствие из теоремы.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Следствие.1. У любого треугольника хотя бы 2 угла острых.

Следствие.2.Величина внешнего угла равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

Следствие.3.Сумма внешних углов равна 360 градусов.

3.  Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии треугольника.

Определение 1. Средняя линия треугольника– отрезок соединяющий середины двух его сторон.

Свойство: 1. Средняя линия параллельна одной из его сторон(основанию)и равна половине этой стороны.

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Определение 2. Медиана треугольника –отрезок концы которого соединяют вершины треугольника и середину противоположной стороны.

Определение 3. Биссектриса треугольника– это отрезок биссектрисы угла, от вершины до точки пересечения с противоположной стороной.

Определение 4. Высота треугольника- это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону или ее продолжение.

4. Свойства биссектрисы угла треугольника. Формула для вычисления длины биссектрисы треугольника.

Свойство: 1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам .

Свойство: 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности)

Свойство: 3. Биссектриса равноудалена от сторон треугольника.

Формула для вычисления величины биссектрис:

, где а,b стороны «прилежащие» к биссектрисе

x, y отрезки на которые биссектриса разбивает третью сторону.

5. Свойства медианы треугольника. Формула для вычисления длины медианы треугольника.

Свойство: 1. Медианы пересекаются в одной точке. (центр тяжести)

Свойство: 2.Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Свойство: 3. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Свойство: 4. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольника.

Формула для вычисления величины медианы:

или , где а,b, с стороны треугольника.

6. Центр вписанной и центр описанной окружности.

Определение 1.Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник – описанным около этой окружности.

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну. Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

Определение 2.Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну. Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

7. Отношение периметров, площадей, высот подобных фигур.

Свойство 1.Отношение периметров и высот подобных фигур равно коэффициенту подобия

Свойство 2.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия .

8. Теорема косинусов. Следствия: связь между диагоналями и сторонами параллелограмма; определение вида треугольника; формула для вычисления длины медианы треугольника; вычисление косинуса угла треугольника.