Условия существования функции полезности

Для того чтобы предпочтения можно было представить в виде функции полезности, необходимо, чтобы само предпочтение было рациональным, то есть отвечало аксиомам полноты и транзитивности.

Достаточные условия зависят от самого множества альтернатив X {\displaystyle X} и от свойств предпочтений. Если множество X {\displaystyle X} конечно или счётно, а отношение предпочтения рационально, то существует функция полезности, которая представляет эти предпочтения.

Если множество X {\displaystyle X} несчетно, то приходится дополнительно требовать непрерывности предпочтений. В этом случае теорема Дебре (Debreu) гарантирует существование функции полезности. Более того, получающаяся при доказательстве теоремы функция полезности является непрерывной.

Часто на предпочтения накладываются дополнительные условия, чтобы получить функции с теми или иными свойствами. Так, можно требовать монотонности, локальной ненасыщаемости и выпуклости.

Непрерывность хотя и является достаточным условием существования функции полезности, представляющей рациональное предпочтение, но оно не является необходимым. Так, например, функция полезности u ( x ) = [ x ] , x ∈ R {\displaystyle u(x)=\lbrack x\rbrack ,\,x\in \mathbb {R} } (целая часть числа) представляет предпочтения, которые не являются непрерывными. Сама функция при этом также разрывна.

Свойства функции полезности

Пусть задана строго возрастающая функция g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } и пусть u : X → R {\displaystyle u:X\to \mathbb {R} } — функция полезности. Тогда композиция функций g ∘ u ( x ) {\displaystyle g\circ u(x)} также является функцией полезности, представляющей то же самое отношение предпочтения ≿ {\displaystyle \succsim } . Отметим, что g {\displaystyle g} не обязана быть непрерывной.

Если множество X {\displaystyle X} является выпуклым, то функция полезности будет квазивогнутой.

Если предпочтения отвечают свойству монотонности (строгой монотонности), то функция будет монотонной (строго монотонной).

Свойство убывающей предельной полезности является следствием вогнутости функции полезности. Если функция дважды дифференцируема, то свойство означает, что вторая частная производная такой функции отрицательна.∂ 2 u ∂ x i 2 < 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}<0}

Кривая безразличия — это линия (поверхность, гиперповерхность) уровня функции полезности.

Вопрос №4. Кривые безразличия и их свойства. Карта предпочтений потребителя.

Как отмечалось выше, концепция предельной полезности имеет существенные методологические изъяны и прежде всего тот, что полезность является субъективной категорией, не поддающейся объективному измерению и сопоставлению. Чтобы избежать необ­ходимости измерения предельной полезности, в экономической теории используют кривые безразличия. Разработка данного подхо­да к проблеме поведения потребителя связана с именами извест­ных экономистов В.Парето и Д.Хикса.

Анализ кривых безразличия базируется на тезисе, что потреби­телю нет надобности точно измерять полезность блага. Достаточно, если он в состоянии из двух благ выбрать одно по своему вкусу.

Анализ кривых безразличия основывается на следующих предпо­сылках:

1. Все блага находятся в свободном доступе и обладают положи­тельной предельной полезностью. Другими словами, это означает принцип: чем больше данного блага, тем лучше. Если же какое-либо дополнительное благо начинает понижать благосостояние по­требителя, он может с легкостью выбросить его, не неся при этом никаких издержек.

2. Предельная норма замещения понижается. По мере того как потребляется все большее количество блага X и меньшее количе­ство блага Y, благо X становится все менее ценным относительно У, а благо Y — все более значимым сравнительно с X.

3. Потребители имеют возможность выбирать между комбинаци­ями доступных им товаров и услуг. Потребитель имеет три возмож­ности: предпочесть товар А товару В, предпочесть товар В товару А, быть безразличным по отношению к обоим товарам (ему все рав­но, какой из них потреблять).

4. Потребительский выбор рационален, и потребитель последо­вателен в своих предпочтениях: если он предпочитает благо А благу В, а благо В — благу С, то при выборе между А и С он всегда пред­почтет А.

Опираясь на названные выше предпосылки, можно построить так называемую карту потребительских предпочтений (рис. 1). Предпочтения потребителя выражены при помощи кривых безраз­личия.

Рис. 1. Кривые безразличия. Карта потребительских предпочтений

Кривая безразличия — это геометрическое место точек, каждая из которых отвечает комбинации товаров Х и У, приносящих одну и ту же совокупную полезность потребителю. Другими словами, потребитель безразличен по отношению к точкам А, В, С и т.д., лежащим на кривой, поскольку в результате потребления любой из соответствующих этим точкам комбинаций двух товаров он полу­чит равнозначную полезность.

Очевидно, что в силу своих вкусов, пристрастий и обстоятельств каждый потребитель имеет свою собственную карту предпочтений.

Кривые безразличия обладают следующими свойствами.

1. Кривых безразличия на каждой карте может быть сколь угодно много.

2. Кривые, расположенные дальше от начала координат, соот­ветствуют более высоким уровням совокупной полезности.

3. Кривые безразличия, принадлежащие одной карте предпочте­ний, никогда не пересекаются, так как каждая из них показывает только один уровень полезности, отличный от других.

4. Кривые выгнуты в сторону начала координат.

5. По мере того как мы продвигаемся по кривой вправо, абсолютное значение ее наклона уменьшается, а кривая становится все более пологой. Такая форма кривой обусловлена убыванием предельной нормы замещения, что в свою очередь связано с убыванием предельной полезности.

Поскольку совокупная полезность в каждой паре точек на от­дельной кривой безразличия одна и та же, выигрыш в полезности от потребления количества блага X должен быть равен потере полезности от потребления меньшего количества блага Y. Таким обра­зом, можно составить равенство: MV_x х изм. Х=- MV_y х изм.Y.

Если разделить каждую часть равенства на MV_y и на изм. Х, получим: изм.Y / изм. Х = - MV_x /MV_y.

Левая сторона равенства характеризует наклон любой кривой, в связи с чем можно сделать следующий вывод: наклон кривой без­различия определяется отношением предельной полезности блага Х к предельной полезности блага Y.