Вопрос №3. Потребитель и его система предпочтений. Функция полезности наборов товаров

Вопрос №1-2. Пространство товаров. Бюджетное множество потребителя и его свойства (граница бюджетного множества потребителя и его свойства): выпуклость, ограниченность и замкнутость.

Пространство товаров:

1. Множество всех возможных наборов благ (товаров), потенциально доступных потребителям. При n товаров набор является n-мерным вектором-столбцом (точкой П.т.). Поскольку может быть куплено любое неотрицательное количество каждого товара, входящего в любой из наборов, П.т. является неотрицательным ортантом Евклидова пространства, размерность которого равна числу всех рассматриваемых благ:

C = {x = (x₁, x₂, …, x_n) |x_j ≥ 0,

j = 1, 2, …, n}.

Пространство Сявляется замкнутым и выпуклым множеством.

2. В более широком смысле понятие П.т. объединяют с понятием пространства производственных возможностей, включая в него все обращающиеся в экономике блага — как ресурсы, так и продукты. Тогда принимают, что для потребителя затраты — положительны, выпуски — отрицательны; для производителя — наоборот. Таким образом, дейст­вия каждого участника эконо­мического процесса могут быть описаны вектором П.т.

Пространство товаров – это множество наборов товаров x c неотрицательными координатами

Бюджетным множеством «В» – называется множество таких наборов товаров Х, которые может приобрести потребитель, имея доход D. Если P= (p₁, p₂, …, p_n) – вектор цен, то бюджетное множество можно определить так:

В первую очередь бюджетные множества предполагаются непустыми. В случае бюджетного множества B ( p , R ) для этого достаточно, чтобы доход R был больше минимально необходимого для приобретения хотя бы одного допустимого набора, то есть R > inf p x :

_{x ∈}

В случае бюджетного множества B ∗ ( p , x 0 ) это условие означает лишь то, что начальный вектор принадлежит допустимому множеству X , что изначально предполагается.

Бюджетное множество является замкнутым, ограниченным и выпуклым множеством. Для ограниченности формально необходимо, чтобы вектор цен был строго больше нуля (то есть все цены должны быть положительными). Замкнутость и ограниченность бюджетного множества обеспечивают существование решения задачи потребителя (см. ниже).

Выпуклость множества предпочтительности означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем Одну только соль, один только сахар и т.д., хотя бы и в большем количестве). Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем. Но если потребителю объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров.

Примеры:

Решение оптимизационной задачи существенно зависит от вида области допустимых значений целевой функции. Область определения функции одной переменной есть некоторая область числовой прямой, двух переменных - плоскости, в общем случае – n-мерного пространства . Познакомимся на уровне простых геометрических иллюстраций с понятиями ограниченности, замкнутости и выпуклости множеств в пространстве

ПРИМЕР 3. Построить e–окрестность точки и шар радиуса e с центром в точке при

а) , ;

b) , .

►e–окрестностью точки называется множество точек пространства , расстояние от которых до меньше e. Поэтому в пространствах , данные множества можно изобразить следующим образом:

Рис. 2. Изображение e–окрестности на прямой и на плоскости.

a) , e–окрестность в - открытый промежуток;

b) .

Заметим, что в обоих случаях граница , то есть множество точек соответствующего пространства, расстояние от которых до равно e, не входитв e–окрестность. Если же мы дополним такими точками, то получим шар радиуса e с центром в точке . В нашем примере шарами будут, соответственно, отрезок и круг радиуса 0,5 с центром в точке . ◄

Внутренняя точка содержится в области вместе с некоторой окрестностью.

Внешняяточка содержится вне области вместе с некоторой окрестностью.

Граничнаяточка – такая точка, у которой любая окрестность содержит точки, как лежащие в области, так и не лежащие в области.

			Рис.5. Граничная точка

Открытое множествосостоит только из внутренних точек (например: ).

Замкнутое множествосодержит все свои граничные точки (например, круг или шар).

Область называется ограниченной, если вся она помещается в некоторый шар, и неограниченной, если не существует шара, вмещающего область целиком.

Область выпукла, если отрезок, соединяющий любые две точки из P, полностью принадлежит этому множеству. (Нет вмятин и дыр!)

Область невыпуклая, если есть отрезок, соединяющий две её точки, который содержит точки, не принадлежащие данной области Н

Рис.10. Выпуклая фигура Рис.11. Невыпуклая фигура

ПРИМЕР 4. Изобразить графически множество точек на плоскости и установить, обладает ли оно свойствами замкнутости, ограниченности, выпуклости.

a) .

► Построим все три полуплоскости, задающие множество G (Подробно процесс построения полуплоскостей описан в примере 16). Искомое множество G есть пересечение, т.е. общая часть трех полуплоскостей (треугольная область ABC на рис.12).

Рис.12.

Легко видеть, что множество G: замкнуто, т.к. содержит свою границу;

ограничено, т.к. его можно поместить в некоторый шар (например, в круг, описанный около треугольника ABC, или круг с центром в точке Q радиуса 2);

выпукло, т.к. является пересечением выпуклых множеств. ◄

b)

► Множество H есть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .

Левая часть неравенства определена во всех точках плоскости, за исключением Q(0,0), и во всех этих точках знак дроби совпадает со знаком ее числителя. Таким образом, множество H есть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (за исключением точки Q).

Построим множество H. Оно совпадает с одной из двух частей, на которые парабола делит плоскость. Подставляя в неравенство координаты точки Q, получаем верное числовое неравенство . Это означает, что H – та из частей, которая содержит начало координат. Исключая из построенного множества точку Q, получаем искомое множество H.

Рис.13.

Легко видеть, что множество H: неограничено; открыто: поскольку граница множества (парабола ) ему не принадлежит, все точки множества H являются внутренними точками этого множества. Оно не является выпуклым. Действительно, любой отрезок, соединяющий две точки множества H и проходящий через начало координат, содержит точку Q, не принадлежащую множеству H.

Вопрос №3. Потребитель и его система предпочтений. Функция полезности наборов товаров

Система предпочтений потребителя графически может быть представлена в виде карты безразличия, состоящей из множества кривых безразличия - линий, каждая точка которых представляет такую комбинацию двух товаров, что потребителю безразлично, какую из них выбрать.

Попробуем представить систему предпочтений потребителя с помощью широко распространенного и играющего в экономике весьма важную роль инструментария кривых безразличия.

Карта безразличия представляет собой графическое отображение системы предпочтений потребителя. Естественно, потребитель стремится приобрести товарный набор, принадлежащий наиболее удаленной от начала координат кривой безразличия. Но он ограничен в своих средствах. Далеко не всякий товарный набор ему доступен. Для изображения множества доступных потребителю товарных наборов используется бюджетная линия.

Поддерживающий маркетинг - вид маркетинга, задачей которого является в условиях полноценного спроса поддержание существующего уровня спроса с учетом изменения системы предпочтений потребителей и усиления конкуренции.

Карта безразличия.

Таким образом, мы получаем множество кривых безразличия - карту безразличия (рис. 4), содержащую полную информацию о системе предпочтений потребителя.

Если в количественной теории потребитель свои вкусы и предпочтения выражает в виде системы показателей предельной полезности благ и графиков MU и TU, то в порядковой теории в качестве средства выражения системы предпочтений потребителя выступает карта безразличия. При этом потребитель знает, что самые предпочтительные наборы находятся на наиболее удаленной от начала координат кривой безразличия. Но дотянуться до такой кривой безразличия потребитель, как правило, не может. Этому мешает недостаточность его бюджета.

Линия цена-потребление и линия индивидуального спроса.

Реакция потребителя на изменение дохода и цен обычно рассматривается под углом зрения изменения его спроса. Что касается системы предпочтений потребителя, а значит, и его карты безразличия, то они находятся, как правило, вне сферы влияния данных факторов.

До сих пор отдельно рассматривались инструменты, анализирующие проблему максимизации полезности. Карта кривых безразличия иллюстрировала систему предпочтений потребителя относительно всех возможных наборов товаров. Бюджетная линия, как отмечалось выше, выражает все наборы товаров, которые доступны потребителю при некоторых финансовых ограничениях. Задача потребителя заключается в том, чтобы из всех возможных наборов товаров выбрать тот, который приносит ему максимальную полезность.

Выводы, к которым он пришел, состоят в том, что категория полезности формируется под влиянием изменения цен и доходов, т.е. реальных, объективно действующих факторов. Именно эти факторы обусловливают систему предпочтений потребителей. В результате работы Слуцкого полезность получает объективную оценку, причем речь идет о предпочтениях и полезности не одного, а совокупности потребителей, как это реально происходит на рынке.

Какие же задачи решаются при изучении потребностей. Ан & Чиз практических результатов использования категории потребности дает возможность выделить следующие задачи: 1) построение иерархической структуры потребностей, т.е. структуризация общих потребностей на несколько частных уровней; 2) определение количественных значений отдельных потребностей и их динамики; 3) изучение системы предпочтений потребителей относительно очередности реализации отдельных потребностей, требований к ассортименту и качеству товаров и услуг; 4) классификация и измерение потребительских свойств товаров и услуг; 5) определение структуры удовлетворенных и неудовлетворенных потребностей.

Одним из основных элементов, участников экономики, финансового рынка является индивид - конкретный человек, домашнее хозяйство, рассматриваемое как целое, предприятие, банк и т.п.

Будем считать, что поведение участника финансового рынка полностью описывается следующей аксиомой.

Аксиома индивида. Каждый индивид принимает решения о покупках, обмене, взятии денег в долг и т.п. исходя исключительно из своей системы предпочтений.

Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя. Далее мы сформулируем эту аксиому в строгих математических терминах.

Но сначала изучим систему предпочтений индивида. Это понятие применимо не только к участникам финансового рынка, но и в общеэкономическом смысле, да, пожалуй, и в общечеловеческом.

Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте.

Будем считать, что имеется п различных товаров, количество /-го товара обозначается хi, тогда некоторый набор товаров обозначается Х=(хi...,хn). В число товаров входят и деньги как особый специфический товар.

Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор товаров другому. Запись Х?У означает, что потребитель предпочитает набор У набору X либо же не делает между ними различий. Из-за последнего обстоятельства это отношение называется слабым предпочтением. Оно формирует еще два отношения: отношение равноценности (или безразличия) Х~У, если и только если Х?У и У?Х, и отношение предпочтения (или строгого предпочтения) Х<У, если и только если Х?У, и неверно, что Х~У Какими же свойствами обладают эти три отношения?

Математики называют отношение рефлексивным, если Х<Х для всякого X; симметричным, если Х<У влечет то, что и У<Х; транзитивным, если Х<У и y<Z влечет X<Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, У либо Х<У, либо У<Х.

Решение:

Аксиома:

1) отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивной совершенно;

2) отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;

3) отношение предпочтения транзитивно;

4) для любого Х множество слабой предпочтительности Рx={У: Х?Y} выпукло;

5) каждый товар желателен для индивида - если Х?У, то и Х?У, а если к тому же xi <уi для некоторого i, то Х<У.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека: Рефлективность и совершенность представляются вполне понятными: рефлективность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе, а совершенность - что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров. Пятое свойство также понятно и в разъяснениях не нуждается. Какой смысл имеет четвертое свойство системы предпочтений? Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто только какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, и один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве). Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, очень наглядно и не сразу осознается потребителем, но если ему объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров. Об аргументах в пользу транзитивности можно прочесть во многих книгах.

Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Любое отношение, обладающее этими тремя свойствами, называется эквивалентностью. Любая эквивалентность на любом множестве разбивает его на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Итак, отношение равноценности является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непересекающиеся подмножества, называемые классами или множествами равноценности (или безразличия), а в случае двух или трех товаров эти классы называются кривыми или поверхностями равноценности. Каждое отдельное множество или класс равноценности состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя - он не отдает предпочтения ни одному на этих наборов. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-нибудь из классов равноценности, а именно в тот, где собраны наборы, одинаково ценные с ним. Типичная картина для двух видов товаров показана на рис.7.2

Здесь Кx, Ку - классы равноценности наборов X, У соответственно, Х<У, стрелка показывает направление предпочтения, заштриховано множество слабого предпочтения Ру. Простой обмен наборами товаров может быть чрезвычайно выгодным для обоих участников. В свое время А. Смит привел поразительный пример такого обмена: дальнозоркий и близорукий имеют каждый не те очки, и в результате обмена получают ценнейшие для себя вещи.

Похожий вариант обмена показан на рис. 7.2. Пусть первый участник имеет набор товаров А, а второй - набор товаров В. Теперь представим, что они поменялись этими наборами. Так как набор В лежит выше кривой равноценности первого участника (сплошная линия), на которой лежит прежний набор А, то набор В для него ценнее. Аналогично и для второго участника (кривая равноценности которого изображена пунктирной линией).

Теперь пусть одним из товаров являются деньги. Тогда подобный вариант обмена есть покупка товара одним из участников у другого участника и эта сделка обоюдовыгодна.

Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма желательно и удобно оценивать привлекательность набора товаров количественно, т.е. приписать каждому набору Х из пространства товаров С какое-то число и(Х). Получается функция и: OR. Главное требование к такой функции она должна отражать отношение (слабого) предпочтения на С, т.е. и(Х)?и(У), если и только если Х< У;

и(Х)=и(У), если и только если Х ~ У, значит и и(Х) <и(У), если и только если Х<У.

Такая функция и(Х) называется функцией, полезности. Работать с функцией полезности гораздо удобнее, чем с системой предпочтения.

Определена математическая эквивалентность денежных сумм в различные моменты времени при определенной процентной ставке: денежные суммы S(T) в момент Т и s(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения / Можно сказать и по--другому: определим эквивалентность на множестве пар (s,t), где s- денежная сумма, а t- момент времени, так: пары (s,t), (S,T) эквивалентны

Графически эта эквивалентность показана на рис.7.3.

На плоскости t(время) - S(деньги) проведены две кривые безразличия.

Каждая из кривых безразличия есть класс эквивалентности и задается уравнением

(Т)=s(t)(1+i)T-t.

Каждая кривая определяется точкой t=0 своего пересечения с осью, т.е. значением денежной суммы при t=0. В финансовых операциях при расчетах используют именно математическую эквивалентность на парах (время - деньги).

Следовательно, можно сказать, что сумма «s» в момент «t» будет эквивалентна «сиюмоментной» сумме s(1+i)-t. При этом можно ограничиться рассмотрением единичной суммы и неотрицательными моментами времени. Обозначим «сиюмоментную» ценность единичной суммы в момент t через V(t). Тогда V(t)=(1+i)-t, график, этой функции изображен на рис. 7.4 кривой а.

Функцию V(t)=(1+i)-t назовем объективной функцией временной ценности денег.

Однако у конкретного индивида эквивалентность (время - деньги) не обязательно совпадает с математической. Положение вполне аналогично отношению конкретного индивида к деньгам и ценам на разные товары: в магазинах висят ценники на товары, и все это создает эквивалентность на пространстве наборов товаров вместе с деньгами - это, так сказать, всеобщая эквивалентность - аналог математической. Вместе с тем у каждого индивида свое конкретное отношение к деньгам, товарам и времени...

У конкретного индивида поэтому своя функция временной ценности денег и она может отличаться от математической. Например, у человека, который через год вступит во владение большим наследством, она может выглядеть примерно, как кривая б на рис. 7.4.

Зато у человека, у которого через два года доходы значительно уменьшатся, график временной ценности денег может выглядеть примерно, как кривая в. Вообще можно чисто условно выделить три типа функций временной ценности денег, называя их (по отношению к объективной функции временной ценности денег - кривая 0 на рис. 7.5): пессимистической, нейтральной и оптимистической - кривые соответственно I, II и III на рис. 7.5.

Теперь можно сформулировать принцип дачи и взятия денег взаймы: берут взаймы в промежутки большей ценности денег, отдают в промежутки меньшей ценности. Таким образом, индивиду А (рис. 7.6) (его функция временной ценности денег изображена кривой А) выгодно брать взаймы на промежутке (а,б) и отдавать на промежутке (с,д). Определите по графику функции временной ценности индивида Б, когда ему выгодно дать деньги взаймы (кривая Б) на рис.

Хорошо известно разное отношение людей к деньгам. Обозначим d(х)- полезность денежной суммы х для индивида. Тогда примерный график d(х) показан на рис. 7.7.

Самое важное свойство этой функции - ее вогнутость, т.е. d(z+y)?d(z)+d(у) для любых сумм z, у или, другими словами: отрезок, соединяющий две точки графика функции, лежит ниже этого графика. Можно сформулировать это свойство и так: прирост полезности денег уменьшается с увеличением их количества. Это утверждение ниоткуда не следует, однако подтверждается всей человеческой практикой и потому его надо рассматривать как аксиому, характеризующую, поведение индивидуума.

Если функция d(х) дифференцируема, то из того, что полезность денег увеличивается с ростом их количества, следует, что d'(х)>0, а сформулированная выше аксиома влечет, что d"(х) <0.

С помощью функций полезности денег можно выразить характерное отношение к ним индивида. Например, пусть график функции полезности индивида А — это кривая, а на рис. 7.8, а индивида Б - кривая б на том же рисунке. Тогда можно сказать, что индивид А хотел бы и будет доволен, если его доход лежит на промежутке [р, q], при превышении такого дохода он начинает ценить деньги меньше, возможно, он переключается на другие «радости» жизни. Для индивида Б такое состояние наступает позже.

Функция полезности — функция, с помощью которой можно представить предпочтения на некотором множестве альтернатив. Функция полезности является очень удобным вспомогательным средством, которое открывает возможность использования теории оптимизации при решении задачи потребителя. Без использования функции полезности решение такой задачи с математической точки зрения может быть затруднительным. С другой стороны, не каждое предпочтение может быть представлено с помощью функции полезности. Тем не менее, несмотря на некоторую ограниченность подхода, функция полезности является неотъемлемой частью большинства современных экономических моделей.

Формальное определение:пусть дано некоторое множество альтернатив X {\displaystyle X} , на котором определено отношение предпочтения ≿ {\displaystyle \succsim } . Тогда вещественнозначная функция u : X → R {\displaystyle u:X\to \mathbb {R} } называется функцией полезности, если выполнено условие.

В микроэкономике господствует ординалистский подход к моделированию поведения и выбора. В соответствии с ним числовые значения функции полезности не играют роли, важны лишь соотношения между ними. Если значение функции полезности для одной из альтернатив выше, то эта альтернатива является более предпочтительной для агента. При этом разность значений или частное от их деления не несёт никакой информации. Именно эта идея отражена в определении.

При кардиналистском подходе числовые значения, наоборот, имеют существенное значение. Такой подход используется, например, при моделировании поведения агента в условиях неопределенности с использованием функции полезности фон Неймана-Моргенштерна. В этом случае часто используются денежные, а не абстрактные единицы полезности, и поэтому разность значений уже имеет экономический смысл.