Методи чисельного рішення звичайних диференційних рівнянь при моделюванні електронних схем

       Мета роботи - вивчення методів чисельного розв’язання звичайних диференційних рівнянь при моделюванні електронних схем з LC‑елементами.

Теоретичні відомості

Електронні схеми з реактивними елементами, у загальному випадку, описуються системами звичайних диференційних рівнянь (ЗДР), котрі можуть бути записані у явній

,                                                           (4.1а)

або у неявній формі

.                                                        (4.1б)

Для чисельного розв’язання ЗДР звичайно застосовують формули, що визначають значення функції U_n+1 на (n+l)-ому кроці через лінійну комбінацію значень функції та її похідних на попередніх кроках. Число значень функції, що враховуються у формулі, визначає порядок і точність метода. Якщо у формулі використовується значення похідної на (n+l)-ому кроці, то метод зветься неявним, у протилежному випадку - явним. Методи поділяються на абсолютно стійкі, у яких відсутні обмеження на величину кроку, та обмежено стійкі, які мають обмеження на величину кроку. Для аналізу схем широке застосування знаходять наступні найпростіші методи:

– явний метод Ейлера:

                                                    (4.2a)

– неявний метод Ейлера:

                                                (4.2б)

– метод трапецій:

                                   (4.2в)

Тут  - крок за часом; , - похідні у точках та  відповідно.

Формули (4.2б), (4.2в) є абсолютно стійкими. Формула (4.2а) має обмеження на величину кроку:

                   ,                                            (4.3)

де l_mах - максимальне власне число матриці системи рівнянь.

Формули (4.2а) і (4.2б) мають перший порядок, а (4.2в) - другий порядок точності. При однакових умовах застосування формули (4.2а) і (4.2б) дають рівні за величиною і протилежні за знаком похибки апроксимації. Для оцінки похибки апроксимації можна використовувати правило Рунге:

,                        (4.4)

де U_n+1(h), U_n+1(h/2) - значення функції, отримані в точці  при переході з точки з кроком h і з кроком h/2, відповідно; p - порядок точності методу.

При складанні математичної моделі схеми з LC-елементами та її аналізі можливі два способи.

За першим способом на підставі диференційних співвідношень для LC-елементів складаються рівняння (4.1а) або (4.1б), що описують схему, а далі за формулами (4.2), або подібними до них, робиться алгебраїзація і розв’язування цих рівнянь.

Другий способ передбачає попереднє перетворення за формулами (4.2) диференційних співвідношень для LC-елементів у алгебраїчні з подальшим складанням та розв’язуванням математичної моделі схеми у вигляді системи алгебраїчних рівнянь.

Лабораторне завдання

Відповідно до варіанту (див.табл.4.1) скласти програму для розрахунку перехідної характеристики заданої схеми. Схеми приведені на рис. 4.1 - 4.4 Вважати, що вхідним сигналом є ступінчаста функція, рівна нулю при t<0 і Е - при t³0. Початкове значення напруги на С або струму у L рівні нулю.

Програма повинна забезпечувати знаходження точного (аналітичного) і чисельного (наближеного) розв’язків ЗДР різними методами, а також обчислення похибки наближених розрахунків, визначеної як різниця між точним і наближеним розв’язками.

Рисунок 4.1                                  Рисунок 4.2

Рисунок 4.3                                  Рисунок 4.4

Таблиця 4.1

Точне рішення ЗДР, що описують схеми, має наступний вигляд:

– для схеми на рис.4.1 і 4.4:

,                                             (4.5а)

– для схеми на рис.4.2 і 4.3:

.                                 (4.5б)

Тут t - постійна часу схеми. Для схем на рис. 4.1 і 4.2 - , для схем на рис.4.3 і 4.4 - .

Для дослідження чисельних методів рішення ЗДР пропонується використовувати наступні рівняння:

– для схеми на рис. 4.1:

, ,               (4.6а)

– для схеми на рис. 4.2:

, ,                                      (4.6б)

– для схеми на рис. 4.3:

, ,                          (4.6в)

– для схеми на рис. 4.4:

, .            (4.6г)

Для алгебраїзації ЗДР у (4.6) слід використовувати явний і неявний методи Ейлера.

При використанні явного методу Ейлера для рівнянь (4.6) отримаємо наступні різністні рівняння:

– для схем на рис. 4.1 і 4.2:

,                                     (4.7а)

– для схем на рис. 4.3 і 4.4:

.                                   (4.7б)

Обмеження на величину кроку:

                   , де     .                                 

При використанні неявного методу Ейлера для рівнянь (4.6) отримаємо наступні різністні рівняння:

– для схем на рис. 4.1 і 4.2:

,                                (4.7в)

– для схем на рис. 4.3 і 4.4:

.                                    (4.7г)

Завдання 1. Використовуючи рівняння (4.7) скласти програми для розрахунку перехідних характеристик відповідних схем згідно з варіантом із таблиці 4.1.

Розрахунок проводити з постійним кроком h для трьох випадків: h=0.5t,  h=2t, h=2.5t.

Результати розрахунків представити у вигляді таблиць і графіків. У таблицях для кожного метода і величини кроку h привести значення часу, результати точного і наближеного рішень, а також похибку обчислень. Графічно представити точний за формулами (4.5) і наближений рішення.

Завдання 2. Дослідити чисельні методи рішення ЗДР на стійкість і точність. Точність оцінити за правилом Рунге (4.4). Результати оформити у вигляді таблиць

Завдання 3. Знайти рішення диференціального рівняння за допомогою функції rkfixed.

Примірник програми з використанням  функції rkfixed.

Рисунок 4.5

Зміст звіту

1. Формулювання мети досліджень.

2. Еквівалентні схеми і співвідношення, покладені в основу програм.

3. Результати чисельних розрахунків.

4. Дослідження чисельних методів розв’язку ЗДР на стійкість і точність. Точність оцінити за правилом Рунге (4.4). Результати оформити у вигляді таблиць.

5. Вирішення диференціального рівняння за допомогою функції rkfixed.

6. Короткі висновки по результатах досліджень.

Лабораторна робота №8

Моделювання електронних схем з використанням дискретних моделей LC‑елементів

       Мета роботи - вивчення методів складання дискретних моделей LC‑елементів та їх використання при моделюванні електронних схем.

Теоретичні відомості

       При моделюванні схем з LC-елементами у часовій області часто  використовується метод, якій передбачає попереднє перетворення диференційних співвідношень для LC-елементів у алгебраїчні з подальшим складанням та розв’язуванням математичної моделі схеми у вигляді системи алгебраїчних рівнянь. Перетворення робиться на підставі неявних методів чисельного рішення ЗДР і здійснює перехід від рівнянь

    ,

до формул наступного вигляду:

– для неявного методу Ейлера (4.8a):

                   U_Cn+1 = U_Cn + h/C i_Cn+1;

                   i_Ln+1 = i_Ln + h/L U_Ln+1.                                (4.8a)

– для методу трапецій (4.8б):

                   U_Cn+1 = U_Cn + 0.5h/C (i_Cn+ i_Cn+1);

                   i_Ln+1 = i_Ln + 0.5h/L (U_Ln + U_Ln+l).                     (4.8б)

Формули (4.8) прийнято називати дискретними моделями реактивних елементів. За цими моделями можна скласти дискретні схеми заміщення. На рис.4.6, 4.7 наведено дискретні схеми заміщення LC-елементів, які побудовані за співвідношеннями (4.8) (а - реактивний елемент, б - послідовна, в - паралельна схеми заміщення). Параметри компонентів схем заміщення наведено у табл. 4.2 для ємності і у табл.4.3 - для індуктивності.

Таблиця 4.2

Таблиця 4.3

Рисунок 4.6 – Дискретні схеми заміщення ємності

Рисунок 4.7 – Дискретні схеми заміщення індуктивності

Слід відзначити, що використання дискретних схем заміщення дозволяє перетворити реактивні схеми з реактивними елементами у резистивні схеми, а аналіз у часовій області замінити послідовністю розрахунків еквівалентної резистивної схеми за постійним струмом.

       При заміні ємності у схемі на рис. 4.1 дискретною схемою заміщення послідовного типу (рис. 4.6б) і скориставшись 2-м законом Кірхгофа отримаємо наступне рівняння кола

.

Після підстановки в це рівняння співвідношення із (4.8а) у формі

і здійснення простих перетворень отримаємо кінцеве ітераційне рівняння відносно напруги на ємності С

.

Вихідною напругою даної схеми є напруга на резисторі R, яка обчислюється за формулою

.

       Аналогічно, якщо виконати заміну індуктивності у схемі на рис. 4.3 дискретною схемою заміщення 4.7б, то за 2-м законом Кірхгофа отримаємо рівняння

.

Підстановка співвідношення із (4.8а) у вигляді

дає кінцеву форму ітераційного рівняння для струму через індуктивність

.

Для вихідної напруги на резисторі R будемо мати

.

Лабораторне завдання

Згідно з варіантом із таблиці 4.1 виконати розрахунок схеми, обравши дискретну схему заміщення реактивного елемента (див. рис.4.6, 4.7 і таблиці 4.2, 4.3), відповідну до неявного методу Ейлерата метода трапецій. Складіть моделі схеми, що аналізується, у вигляді резистивного кола. За законами Кірхгофа запишіть рівняння кола і отримайте співвідношення для струмів і напруг у (n+1)-й момент часу. Організуйте цикл за часом з кроком h і перевизначте після кожного кроку незалежні джерела у дискретних схемах заміщення.

Зміст звіту

1 Формулювання мети досліджень.

2. Еквівалентні схеми і співвідношення, покладені в основу програм.

3. Программа знаходження вихідної напруги з використанням дискретних моделей LC‑елементів та неявного методу Ейлера. Результати чисельних розрахунків у вигляді таблиці і графіка залежності віхідної напруги від часу.

4. Программа знаходження вихідної напруги з використанням дискретних моделей LC‑елементів та методу трапеції. Результати чисельних розрахунків у вигляді таблиці і графіка залежності віхідної напруги від часу.

5. Порівняти отримані результати .

5. Короткі висновки по результатах досліджень.

Контрольні запитання

1. Запишіть диференційні співвідношення для струму і напруги у LC-елементах.

2. Вкажіть дві форми подання систем ЗДР.

3. Дайте класифікацію методів чисельного рішення ЗДР.

4. Запишіть явну і неявну формули Ейлера, дайте пояснення.

5. Запишіть формулу трапецій, дайте пояснення.

6. Вкажіть різницю явних методів і неявних.

7. Яке обмеження на крок має явний метод Ейлера?

8. Як оцінити похибку обчислень за правилом Рунге?

5 ОПТИМІЗАЦІЯ ЕЛЕКТРОННИХ СХЕМ

Теоретичні відомості

       Під оптимізацією електронної схеми розуміється цілеспрямований|ціленаправлений| пошук оптимальних значень параметрів елементів схеми, при яких її характеристики найкращим чином задовольняють поставленим в технічному|технічний| завданні|задавання| вимогам. При цьому структура схеми задається розробником, а вибір значень параметрів елементів проводиться|виробляється,справляється| за допомогою ЕОМ за програмами, що реалізують методи рішення задач нелінійного|нелінійний| програмування.

       У загальному|спільний| випадку завдання|задача| нелінійного|нелінійний| програмування формулюється таким чином:

       знайти мінімум|мінімум-ареал| функції F(x) при обмеженнях:

типу|тип| рівності , і = 1,2,...,k;

(5.1)

       типу|тип| нерівностей >= 0, і =1,2,…,m

       Функція F(x) називається цільовою|цільовий| функцією. Якщо цільова|цільовий| функція і обмеження є|з'являтися,являтися| лінійними функціями, то має місце завдання|задача| лінійного програмування, при квадратичній цільовій|цільовий| функції і лінійних обмеженнях – завдання|задача| квадратичного програмування, і, нарешті|урешті|, у разі|в разі| відсутності|відсутність| обмежень – завдання|задача| безумовної мінімізації.

       Для постановки і рішення оптимізаційної задачі необхідно скласти цільову|цільовий| функцію, за допомогою якої оцінюється ступінь|міра| відповідності характеристики схеми, що оптимізується, технічному|технічний| завданню|задавання|. На практиці широке|широкий| застосування|вживання| отримали|одержали| цільові|цільовий| функції, складені по середньостепеневому|середньоквадратичний| критерію оптимальності:

                   (5.2)

де   m –| число крапок|точка,точка-тире|, на яке розбивається інтервал зміни змінній w (частоти, часу і т.п.), в якому проводиться|виробляється,справляється| оптимізація характеристики;

- ваговий коефіцієнт для крапки|точка,точка-тире| ;

- необхідне значення характеристики у і–й крапці;

- реалізоване значення характеристики у і–й крапці.        

P- ступінь|міра| наближення.

При рівноцінності всіх точок характеристики можна покласти

,

       Зі|із| збільшенням  внесок|вклад| і-й крапки|точка,точка-тире| в цільову|цільовий| функцію збільшується, що веде до точнішого виконання вимог для значень характеристики в цій крапці|точка,точка-тире|.

       Мінімальне значення ступеня|міра| наближень p дорівнює 2. Зі збільшенням ступеня|міра| p відбувається|походити| вирівнювання помилок|помилка|  і характеристика, що оптимізується, наближається формою до рівноволнової.

       У окрузі|околиця| шуканої точки мінімуму|мінімум-ареал|  довільну цільову|цільовий| функцію  від n змінних можна апроксимувати квадратичною функцією, використавши розкладання  в багатовимірний|багатомірний| ряд|лава,низка| Тейлора при збереженні|зберігання| тільки|лише| перших|перший| трьох членів:

 (5.3)

де   ;

       - градієнт цільової|цільовий| функції;

матриця Гессе (матриця других приватних похідних);

t - знак транспонування.

       Якщо  є|з'являтися,являтися| мінімумом|мінімум-ареал|, то при будь-якому малому прирості ΔХ функция  повинна зростати, що матиме місце при

                              .

Остання умова означає позитивну визначеність матриці|матриця| Гессе.

       Квадратичну функцію (7.3) можна записати таким чином:

                  ,                         (5.4)

де   а - постійна; - транспонований вектор n змінних;

Н - квадратна позитивно визначена матриця.

       Ефективність методів оптимізації визначається швидкістю знаходження мінімуму|мінімум-ареал| квадратичних функцій (5.4). Якщо мінімум (5.4) знаходиться|перебувати| за n кроків, то використовуваний метод мінімізації має квадратичну збіжністю.

       Найповніше розроблені математичні методи рішення задачі безумовної мінімізації. Більшість з|із| них засновані на побудові|шикування| ітераційного процесу пошуку мінімуму|мінімум-ареал|, що здійснює перетворення завдання|задача| знаходження мінімуму|мінімум-ареал| функції  багатьох змінних в послідовність завдань|задача| по знаходженню мінімуму|мінімум-ареал| функції однієї змінної. Проводиться|виробляється,справляється| це перетворення по формулі:

                   ,                                          (5.5)

яка описує переміщення з|із| кроком α із початкової точки  в точку|точка,точка-тире|  у напрямі|направлення| на мінімум|мінімум-ареал|, вектором, що задається . Таким чином, на к-й| ітерації ставиться завдання|задача| знаходження оптимального значення кроку, що мінімізує цільову|цільовий| функцію  в напрямі|направлення| . Це завдання|задача| вирішується|розв'язуватися| методами одновимірного|одномірний| пошуку мінімуму|мінімум-ареал|.

       У простому випадку одновимірний|одномірний| пошук можна здійснити шляхом послідовного збільшення кроку  на величину h. При кожному збільшенні слід проводити|виробляти,справляти| порівняння поточного ,  і попереднього, ,  значень цільової|цільовий| функції. Якщо <  (вдалий|успішний| крок), то до  знов|знову,щойно| додається|добавляється| h.. Інакше поточна невдала крапка|точка,точка-тире| відкидається, h зменшується, наприклад, удвічі,|вдвічі| і повторюється пошук мінімуму|мінімум-ареал| з|із| зменшеним h |із|їз попередньої вдалої|успішний| крапки|точка,точка-тире| . Точність знаходження мінімуму|мінімум-ареал| визначається величиною h.

Ефективність ітераційного алгоритму безумовної мінімізації визначається способом побудови|шикування| напрямів|направлення| пошуку . За способом побудови|шикування| вектора  розрізняють методи нульового порядку|лад| (безградієнтні|), методи першого|перший| порядку|лад| (градієнтні) і методи другого порядку|лад| (ньютонівські).

       При побудові|шикування|  в методі нульового порядку|лад| приватні похідні від  не використовуються, в методах першого|перший| порядку|лад| застосовується градієнт цільової|цільовий| функції , а в методах другого порядку|лад| – матриця Гессе .

До методів другого порядку|лад| відноситься метод Ньютона, формулу якого можна отримати|одержати|, якщо розкладання (5.3) цільової|цільовий| функції в ряд|лава,низка| провести|виробити,справити| в крапці , а функцію  визначити в крапці|точка,точка-тире| . Потім знайти градієнт цільової|цільовий| функції  в крапці|точка,точка-тире|  і прирівняти його нулю|нуль-індикатор,нуль-множина,нуль-последовність,нуль-елемент|, припускаючи|передбачаючи|, що ця крапка|точка,точка-тире| співпадає|збігатися| з|із| мінімумом|мінімум-ареал| цільової|цільовий| функції:

.

Звідси витікає формула даного методу:

       ,                (5.6)

де  - матриця, зворотна матриці|матриця| Гессе.

У разі|в разі| квадратичної функції формула (5.6) при будь-якій початковій точці  відразу ж визначає координати мінімуму|мінімум-ареал| . При мінімізації довільної функції ітерації будуються по формулі (5.5) з|із| напрямами:|направлення|

.                                      (5.7)

Для функції двох змінних формулу (5.7) можна перетворити до вигляду|вид|:

,       (5.8)

де - визначник матриці|матриця| Гессе.

Лабораторна робота №9