МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РЕЗИСТИВНИХ СХЕМ

Лабораторна робота № 5

Чисельні методи розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь при моделюванні нелінійних схем

Мета роботи - вивчення основних чисельних методів розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь при дослідженні математичних моделей нелінійних резистивних схем.

Теоретичні відомості

Нелінійні резистивні схеми, у загальному випадку, описуються системами нелінійних алгебраїчних рівнянь (НАР), при рішенні яких використовуються різни ітераційні методи, наприклад, метод простої ітерації, метод Ньютона, а також різноманітні їх модифікації.

Формула методу простої ітерації має наступний вигляд:

,                                                       (3.1)

де    – вектори з n змінних, що відповідають m-й та m+1-й ітераціям;

F(X_m) – вектор-функція розмірності n.

Для використання формули (3.1) необхідно привести математичну модель нелінійної резистивної схеми до явного виду .

Для випадку одного нелінійного рівняння  формула (3.1) перетворюється до вигляду:

                                                          (3.2)

Ітераційний процес (3.1) збігається при виконанні умови : 

або ,                (3.3)

i,k=1,2, … ,n

Для одного нелінійного рівняння умова (3.3) перетворюється до виду:

       .

Швидкість збігу методу простої ітерації лінійна. Більш високу, а саме квадратичну швидкість збігу, має метод Ньютона-Рафсона. Його формула має вигляд:

,                    (3.4)

де  – матриця, зворотня матриці Якобі, визначеній на m-й ітерації.

Формула (3.4)застосовується до математичної моделі нелінійної резистивної схеми неявного виду . Ця формула одержується шляхом розкладу нелінійної функції  у ряд Тейлора, де беруться перші два члени, що відповідає лінеаризації нелінійної функції.

При моделюванні нелінійних схем спочатку складається її модель у вигляді системи НАР, яка перетворюється на кожній ітерації у систему лінійних алгебраїчних рівнянь (ЛАР) за допомогою формули, що випливає з (3.4):

,                                               (3.5)

де .

Рішення (3.5) дозволяє знайти .

Для випадку одного нелінійного рівняння формула (3.4) перетворюється до вигляду:

.                                                      (3.6)

Для початку обчислень слід задати початкове наближення x₀. Процес вирішення рівняння (3.6) складатиметься з послідовних наближень до рішення , починаючи з x₀:

,  і так далі.

Ітераційний процес закінчують досягши заданої точності ε_доп:

.                                                    (3.7)

Зв'язок між погрішностями на сусідніх ітераціях визначається таким чином:

                              (3.8)

де .

Умова вигляду (3.8) відповідає квадратичній швидкості збіжності.

Метод Ньютона, дякуючи високому збігу, знаходить широке застосування у програмах аналізу нелінійних схем.

       Для чисельних розрахунків нелінійних ланцюгів в системі MathCAD можна скористатися функцією root(f,x₀). Ця функція реалізована на основі методу Ньютона, її вхідними параметрами є функція f(x) нелінійного рівняння f(x)=0 і початкове наближення x₀.

Прості нелінійні ланцюги можуть бути розраховані графічно- аналітичним методом. Наприклад, для ланцюга на рис. 3.1 математична модель складається з двох рівнянь:

                                                   (3.9)

Перше рівняння нелінійне алгебраїчне, воно задане вольт-амперною характеристикою (ВАХ) діода. Друге рівняння лінійне алгебраїчне, воно складене згідно із законом Кирхгофа для напруги і визначає положення прямої навантаження на вольт-амперній характеристиці. Точка перетину прямої навантаження з ВАХ є вирішенням системи рівнянь (3.9) і задає режим схеми по постійному струму. 

Лабораторне завдання

Для схеми на рис.3.1 і за даними варіанту з табл. 3.1 розробити програми розрахунку режиму за постійним струмом у середовищі Mathcad:

·графічно-аналітичним методом за формулою (3.9),

·графічним рішенням рівняння ,

·з використанням процедури root,

·з використанням методу Ньютона-Рафсона за формулою (3.6).

Рисунок 3.1

Модель вольт-амперної характеристики діода описується виразом:

,                                                   (3.10)

де – струм насичення, – тепловий потенціал.

Параметри ,    моделі ВАХ діода наведено у табл. 3.1. У програмах використати математичну модель схеми у вигляді неявного нелінійного рівняння відносно напруги  на діоді , що отримується по схемі на рис. 3.2 задопомогою 2-го закону Кірхгофа. У розгорнутому вигляді це рівняння має вигляд: 

.                                                    (3.11)

Підстановка у (3.11) співвідношення (3.10) дає кінцеву форму рівняння:

.                                    (3.12)

Таблиця 3.1

Порядок проведення роботи

Завдання 1. Розрахунок режиму схеми за постійним струмом  графічно-аналітичним методом.

1. Построїти за формулою  (3.9) графіки функцій

                                                       (3.13)

2. Знайти точку перетину графіків.

       Завдання 2. Графічне рішення нелінійного рівняння (3.12).

1. Построїти за формулою (3.12) графік функції .

2. Знайти точку  перетину графіка з віссю абсцис.

       Завдання 3. Використовуючи функцію root системи MathCad знайти рішення рівняння (3.12) для початкових наближень В.

       Завдання 4. Використовуючи формулу (3.6) скласти програму ітераційного рішення рівняння (3.12) за методом Ньютона-Рафсона. Точність розрахунку прийняти рівної ε=0.001. Критерієм зупинки ітераційного процесу є умова (3.7).

Порівняти отриманий результат з результатами попередних пунктів.

Зміст|вміст,утримання| звіту

1. Короткі теоретичні відомості, розрахункові формули, досліджувана схема.

2. Результати рішення нелінійного рівняння графічним методом.

3. Результати рішення нелінійного рівняння за допомогою функції root.

4. Результати розрахунку схеми графічно-аналітичним методом.

5. Результати розрахунку схеми методом Ньютона-Рафсона.

6. Короткі висновки|висновок,виведення| по роботі.

Контрольні питання

1. Основні співвідношення й характеристики методу простої ітерації.

2. Умови сходження методу простої ітерації.

3. Основні співвідношення й характеристики методу Ньютона-Рафсона.

4. Як визначається матриця Якобі?

5. Запишіть і поясніть систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що випливає за методом Ньютона-Рафсона.

6. Зв'язок між погрішностями на сусідніх ітераціях метода Ньютона-Рафсона

7. Поясніть графічне рішення нелінійного рівняння f(x)=0.

8. Поясніть графічно-аналітичний розрахунок схеми.

9. Запишіть і поясніть формулу для ВАХ діода.

10. Запишіть задопомогою 2-го закону Кірхгофа нелінійне рівняння схеми відносно напруги  на діоді.

11. Поясніть рішення нелінійного рівняння схеми за методом Ньютона-Рафсона.

Лабораторна робота № 6

Моделювання нелінійних схем за постійним струмом з використанням ітераційних моделей нелінійних компонентів

Мета роботи - вивчення метода моделювання нелінійних резистивних схем з використанням ітераційних моделей нелінійних компонентів.

Теоретичні відомості

Для моделювання нелінійних резістивних схем по постійному струму широко використовується метод, в якому спочатку лінеаризуються нелінійні компоненти схеми, а потім за отриманими лінійними моделями компонентів складається модель схеми у вигляді системи ЛАР. Цей метод більш переважливий, тому що дозволяє використовувати готові програми аналізу, розроблені для лінійних схем.

У результаті лінеаризації нелінійної провідності  отримується ітераційна модель, що має наступний вигляд:

,                                              (3.14)

де - незалежне джерело струму;  - диференційна провідність у точці .

Модель вольт-амперної характеристики діода описується виразом (3.10).

Тоді ітераційна модель діода у відповідності з (3.13) і з урахуванням (3.10) буде:

,                                              (3.15)

де   ,      .

Співвідношення (3.14) можна переписати по іншому:

,                                      (3.16)

де – незалежне джерело напруги - диференційний опір.

Співвідношення (3.14) можна представити у вигляді еквівалентної схеми паралельного типу, яка зображена на рис. 3.2,б, а співвідношення (3.16) – у вигляді еквівалентної схеми послідовного типу, яка приведена на рис. 3.2,в.

Лабораторне завдання

Для схеми на рис.3.1 і за даними варіанту з табл. 3.1 розробити програму розрахунку режиму за постійним струмом  з використанням ітераційної моделі діода.

Для виконання цього завдання необхідно діод у схемі на рис.3.1 замінити ітераційною моделлю послідовного типу (рис. 3.2,в); скласти рівняння для кола за законом Кірхгофа для напруг і розв’язати його ітераційним методом. Початкове наближення взяти з попередньої роботи.

Рисунок 3.2

За законом Кірхгофа для цієї схеми рівняння має вигляд:

,                                       (3.17)

де u_m+1 , i_m+1 – напруга і струм діода на (m+1)-й ітерації.

Після підстановки у (3.17) співвідношень з (3.15) і наступних алгебраїчних перетворень отримуємо ітераційне рівняння:

       .      (3.18)

Порядок проведення роботи

       Скласти програму і знайти рішення рівняння (3.18) для початкових наближень В. Точність обчислення ітераційного рішення цього рівняння, як і у попередньої роботі, прийняти рівною ε=0.001.

Порівняти отриманий результат з результатом попередньої роботи.

Зміст|вміст,утримання| звіту

1. Короткі теоретичні відомості, розрахункові формули, досліджувана схема, ітераційні схеми діода.

2. Ітераційна схема досліджуваної схеми.

3. Результати розрахунку схеми.

4. Короткі висновки|висновок,виведення| по роботі.

Контрольні запитання

1. Отримайте ітераційну модель для нелінійної провідності.

2. Побудуйте і поясните еквівалентну ітераційну схему паралельного типу.

3. Побудуйте і поясните еквівалентну ітераційну схему послідовного типу.

4. Отримайте ітераційну модель для н/п діода.

5. Побудуйте і поясните ітераційну схему досліджуваної схеми.

6. Поясніть алгоритм складання і розв’язання математичної моделі нелінійних схем з використанням ітераційних моделей.

7. Отримайте за законом Кірхгофа рівняння для напругі і струму діода на (m+1)-й ітерації у досліджуваної схеми.

8. Отримайте ітераційну формулу для напругі на діоді у досліджуваної схеми.

4 МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СХЕМ

Лабораторна робота №7