Аналіз математичної моделі електронної схеми

       Мета|ціль| роботи- освоєння|основний| методів рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних алгебраїчних рівнянь при аналізі лінійних електронних схем.

Теоретичні відомості

Математична модель схеми, що складена по методу вузлових потенціалів, описується співвідношенням (2.7), яке є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, записаною в матричній формі|форма|.

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь вида

                                                                            (2.12)

може бути виконано прямими і ітераційними методами. Прямі методи дозволяють безпосередньо отримувати|одержувати| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем рівнянь. Ітераційні методи засновані на побудові|шикування| послідовних наближень, що сходяться до рішення, що треба знайти|розв'язання,вирішення,розв'язування|.

Для вирішення завдань|задача| схемотехніки в системах автоматизованого проектування використовуються прямі методи, такі як метод Гауса|Гаус| і метод LU-розкладання.

Метод Гауса|Гаус| ґрунтується на послідовному виключенні|виняток| невідомих, що складають вектор Х в (2.12). Під час прямого ходу методу Гауса|Гаус| квадратна матриця А матричного рівняння (2.12) в результаті|унаслідок,внаслідок| послідовного виключення|виняток| невідомих|із| розкладається| на дві трикутні|трикутний| матриці|матриця|: нижню трикутну|трикутний| (L-матрицю|матриця|) і верхню трикутну|трикутний| (U-матрицю|матриця|). Під час зворотного ходу методу Гауса|Гаус| здійснюється рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| системи рівнянь з|із| верхньою трикутною матрицею|матриця|. На рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| системи з|із| n рівнянь методом Гауса|Гаус| потрібно

                                                       (2.13)

довгих операцій (множення і ділення|поділка,розподіл,поділ|).

Метод LU-розкладання, заснований на представленні матриці|матриця| А в матричному рівнянні (2.12) у вигляді перемноження|добуток| нижньої| і верхньої трикутних|трикутний| матриць|матриця|

.                                                                           (2.14)

На підставі цього розкладання матричне рівняння (2.12) перетвориться в два рівняння:

,                                                                           (2.15)

.                                                                           (2.16)

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| проводиться в два етапи. На першому|перший| етапі з|із| рівняння (2.15) по заданому вектору В знаходиться|перебувати| вектор допоміжних змінних Y. На другому етапі по знайденому Y розраховується шуканий вектор X. Основну|основний| кількість довгих операцій ( ) складає факторизація матриці|матриця| А, тобто розкладання (2.14). Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| рівнянь (2.15), (2.16) з|із| трикутними|трикутний| матрицями|матриця| вимагає мінімальне число операцій ( ). Перевага|чеснота,достоїнство| цього методу полягає в тому, що виконавши один раз факторизацію матриці|матриця| А, можна потім вирішувати|рішати,розв'язати| рівняння (2.12) для різних векторів В.

У MATHCADе| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем рівнянь (2.12) можна здійснити різними способами.

За допомогою функції lsolve| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних рівнянь алгебри:

.

Методом зворотної матриці|матриця|, використовуючи оператор обертання|звертання,обіг| матриці|матриця| «-1»:

.

Методом LU-розкладання за допомогою функції lu|. Результатом роботи цієї функції буде прямокутна матриця, що складається з трьох квадратних матриць|матриця|: матриці|матриця| перенумерації| P, нижньої трикутної матриці|матриця| L, верхньої трикутної| матриці|матриця| U. Якщо Р діагональна матриця, то нумерація клітин|клітина| матриць|матриця| не міняється. Для виділення підматриць|матриця| з|із| матриці|матриця| R використовується функція submatrix|. Наприклад, програму LU-розкладання матриці| А розмірністю  з|із| подальшим|наступний| розв'язанням|розв'язання,вирішення,розв'язування| рівняння (2.12), можна записати у вигляді|вид|:

Лабораторне завдання

       За даними лабораторної роботи №3 провести аналіз схеми на рис. 2.1, використовуючи математичну модель (2.7), складену по методу вузлових потенціалів. Аналіз здійснити на частоті Гц.

1. Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| матричного рівняння (2.7) виконати різними способами:

- за допомогою функції lsolve| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних рівнянь алгебри;

- методом LU-розкладання;

- за допомогою зворотної матриці|матриця|.

2. По співвідношеннях (2.3) – (2.5) знайти напругу|напруження| і струми|тік| на елементах схеми.

3. Обчислити|обчисляти,вичислити| коефіцієнт передачі|передача| схеми по струму|тік|

,

де J₁ – струм|тік| на вході схеми,  - струм|тік| в резисторі R_k.

4 Обчислити|обчисляти,вичислити| коефіцієнт передачі|передача| схеми по напрузі

,

де  – напруга|напруження| на вході схеми,  - напруга|напруження| на резисторі R_k.

Зміст|вміст,утримання| звіту

1. Короткі теоретичні відомості, розрахункові формули, досліджувані схеми.

2. Значення елементів|роздруківка,роздрукування| матриці|матриця| , вектора , вектора вузлових потенціалів φ на частоті Гц.

3. Значення елементів|роздруківка,роздрукування| векторів , , , що відповідають |із| напругам|напруження| і струмам|тік| в елементах схеми.

1. Значення К_u, K_i.
2. Перевірка закону Кирхгофа для струмів|тік| в вузлах схеми.

6. Короткі висновки|висновок,виведення| по роботі.

Контрольні питання

1. У чому суть прямого і зворотного ходу методу Гауса|Гаус|? Перерахуєте його достоїнства і недоліки|нестача,недолік|?

2. Кількість довгих операцій в методі Гауса|Гаус|.

3. Пояснить алгоритм методу LU-розкладання. Достоїнства і недоліки|нестача,недолік| цього методу.

4. Пояснить операцію факторизації матриці|матриця|.

5. Як визначаються коефіцієнти передачі|передача| схеми по струму|тік| і напрузі|напруження|?

6. Область застосування|вживання| функції lsolve|,її вхідні і вихідні змінні.

7. Скласти і пояснити програму рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних рівнянь алгебри за допомогою функції lu|.