Методика определения момента инерции детали

В данной работе определяются моменты инерции детали определённой формы относительно некоторых осей, не проходящих через центр тяжести этого тела. Так как в этом случае тело представляет собой так называемый физический маятник, то определение момента инерции детали основано на выводах, следующих из теории по колебаниям физического маятника, изложенной ниже.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол  (рис. 3) возникает решающий момент , стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

,(4)

где  - масса маятника,

- расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника,

- ускорение свободного падения.

Рисунок 3 – Схема определения момента силы

На основании основного закона динамики вращательного движения можно записать:

,     (5)

где - момент инерции маятника относительно оси .

(Знак «-» обусловлен тем, что за положительный момент принимают момент, вращающий тело противчасовой стрелки).

Будем рассматривать только малые колебания, тогда  и выражение (5) принимает вид:

. (6)

Поделив выражение (6) на  и обозначив     (7)

получим:

. (8)

Решением дифференциального уравнения (8) является выражение:

, (9)

где  - амплитуда колебаний,

 - циклическая частота колебаний,

 - начальная фаза.

В том, что выражение (9) действительно является решением уравнения (8) легко убедиться, подставив (9) в (8). Из (9) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия и отсутствии трения физический маятник совершает гармонические колебания.

Период колебаний  маятника связан с  соотношением:

. (10)

Из соотношений (7) и (10) следует, что период колебаний физического маятника равен:

. (11)

Обозначим . (12)

Тогда . Это выражение по виду совпадает с формулой периода колебаний математического маятника:

,

где  - длина математического маятника.

В связи с этим  называют приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приведённая длина  физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Точка  (рис. 3) на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины  от оси вращения, называется центром качания физического маятника.

Можно показать, что при закреплении маятника в центре качания (в точке ), приведённая длина, а, следовательно, и период колебаний, будет тем же, что и при закреплении маятника в точке подвеса .

Из формулы (11) следует, что момент инерции физического маятника может быть определён по формуле:

, (13)

а из формулы (12) видно, что он может быть определен и как:

.      (14)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка представляет собой вертикальную стойку (рис.4а), укреплённую на основании 2. Для подвеса детали 3, в верхней части стойки закреплена призма 4. На конце призмы закреплён зажим 5 для подвеса и изменения длины математического маятника 6, который используется здесь в качестве отвеса.

В данной работе момент инерции детали 3 определяется относительно двух осей  и  (рис. 4б). На этой детали отмечены центр качаний  и центр масс  (  - это центр качания при колебаниях около оси ).

А                                б

Рисунок 4 (а, б) – Схема установки для определения момента инерции детали