Момент силы относительно оси вращения

Пусть на твёрдое тело (рис. 1) действует сила , а ОО – некоторая ось относительно которой идёт вращение твёрдого тела. Обозначим через  проекцию силы  на плоскость, перпендикулярную оси и проходящую через точку  - точку приложения силы ;  - радиус-вектор, проведённый из точки пересечения оси  с указанной плоскостью в точку приложения силы. Тогда моментом силы  относительно оси  называется вектор, определяемый векторным произведением векторов  и :

        Рисунок 1

В нашем случае вектор  направлен вверх по оси. Модуль этого вектора может быть вычислен как:

где  плечо силы  (относительно точки );

- угол между направлениями  и .

Момент инерции тела относительно оси. Теорема Штейнера

Моментом инерции тела относительно любой оси, например,  (рис. 1), понимают величину равную сумме произведений масс  отдельных материальных частиц на квадраты их расстояний  от данной оси:

        (1)

Взятое отдельно слагаемое  (кг·м²), представляет собой момент инерции -ой материальной частицы (точки) относительно той же оси.

Момент инерции тела (скалярная величина) является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению; он аналогичен массе при поступательном движении.

Для тела с непрерывным распределением массы:

,    (2)

где  - плотность вещества, - элемент объёма.

Из определения момента инерции видно, что для данного тела можно указать бесчисленное множество моментов инерции, поскольку может быть выбрано бесчисленное множество осей инерции.

Моменты инерции других тел правильной формы представлены в таблице.

Таблица – Момент инерции  некоторых тел, вычисленных относительно оси вращения, проходящей через центр масс

Твёрдое тело	Ориентация оси	Момент инерции
Тонкое кольцо, обруч, колесо, полый тонкостенный цилиндр
Диск, сплошной цилиндр
Полый тонкостенный цилиндр
Диск
Шар, полая тонкостенная сфера
Тонкий стержень, четырехугольная пластина

Теорема Штейнера

Параллельное смещение оси вращения, проходящей через центр масс, приводит к увеличению момента инерции данного тела.

Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела , то можно вычислить момент инерции относительно параллельной оси: момент инерции  относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведению массы тела на квадрат расстоянияd между осями:

Угловое ускорение

Угловое ускорение  характеризует изменение угловой скорости со временем и определяется выражением:

,

где  - угловая скорость.

Вектор  по направлению совпадает с , когда движение ускоренное  и противоположен ему при замедленном вращении . Модуль вектора  равен: .

Основной закон динамики вращательного движения

Для случая, когда  этот закон имеет вид:

,              (3)

где  - результирующий момент сил, действующих на тело, относительно оси вращения;  - момент инерции этого тела относительно оси вращения; - угловое ускорение, которое сообщается телу приложенными к нему силами.