Лабораторная работа №3 (а,б) Определение момента инерции твёрдого тела

Цель работы:

1) используя формулу периода колебаний физического маятника определить момент инерции тела относительно разных осей и провести анализ полученных результатов;

2) проверить выше полученные результаты опираясь на понятие приведённой длины физического маятника.

Приборы и материалы: установка для определения момента инерции детали, секундомер, линейка.

Задание:

1. Для выполнения лабораторной работы ознакомиться с теорией и порядком выполнения работы.

2. Определить момент инерции детали экспериментально и теоретически.

3. Определить абсолютную и относительную погрешность прямых и косвенных измерений.

4. По результатам обработки экспериментальных и теоретических данных сделать вывод.

5. После выполнения лабораторной работы, ответить на контрольные вопросы.

ТЕОРИЯ

Вращательное движение — вид механического движения.

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения.

Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Пример, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

В технике вращательное движение встречается очень часто: вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов и т.д.

Очень часто в технике необходимо знать момент инерции различных деталей машин относительно некоторых осей.

Момент инерции тела относительно оси

Моментом инерции тела относительно любой оси, например,  (рис.1),понимают величину равную сумме произведений масс  отдельных материальных частиц на квадраты их расстояний  от данной оси:

        (1)

Взятое отдельно слагаемое  (кг·м²), представляет собой момент инерции -ой материальной частицы (точки) относительно той же оси.

Рисунок 1 – Момент инерции твёрдого тела относительно оси

Момент инерции тела (скалярная величина) является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению; он аналогичен массе при поступательном движении.

Исходя из определения момента инерции видно, что для данного тела, в принципе, можно вычислить бесчисленное множество моментов инерции, поскольку может быть выбрано бесчисленное множество осей, относительно которых могут быть вычислены моменты инерции. Практически интересуются моментами инерции тела относительно только тех осей, вокруг которых тело совершает или будет совершать вращательное движение. Очень часто, например, необходимо знать момент инерции тела относительно оси его симметрии. Задача отыскания моментов инерции твёрдых тел по формуле (1) при разбиении тела на бесконечно большое число элементарных участков (рис.2) сводится к вычислению интеграла вида:

,    (2)

где  - плотность вещества, - элемент объёма.

Рисунок 2 – Определение момента инерции для тела с непрерывным распределением массы

Вычисление моментов инерции по формуле (2) является простой задачей только для тел сравнительно простой формы и относительно осей симметрии, проходящих через центры масс тела.

Моменты инерции других тел правильной формы представлены в таблице.

Таблица – Момент инерции  некоторых тел, вычисленных относительно оси вращения, проходящей через центр масс

Твёрдое тело	Ориентация оси	Момент инерции
Тонкое кольцо, обруч, колесо, полый тонкостенный цилиндр
Диск, сплошной цилиндр
Полый тонкостенный цилиндр
Диск
Шар, полая тонкостенная сфера
Тонкий стержень, четырехугольная пластина

Теорема Штейнера

Параллельное смещение оси вращения, проходящей через центр масс, приводит к увеличению момента инерции данного тела.

Вычисление моментов инерции тела относительно осей, не являющихся осями симметрии, проходящими через центры масс тела, является задачей довольно сложной. Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела , то можно вычислить момент инерции относительно параллельной оси.

В этом случае иногда используют теорему Штейнера: момент инерции  относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведению массы тела на квадрат расстояния d между осями: