Лабораторная работа № 5 Изучение законов колебания физического маятника

На рисунке 1 изображено сечение физического маятника плоскостью, перпендикулярной оси   и проходящей через центр масс . Расстояние от оси колебания до центра масс (тяжести) обозначим через .

Рисунок 1 - Сечение физического маятника плоскостью, перпендикулярной оси  и проходящей через центр масс .

Отклоним маятник от положения равновесия на небольшой угол . Разложим силу тяжести  на две составляющие: , перпендикулярную , и , направленную по .

Составляющая  уравновешена реакцией оси , а составляющая  стремится возвратить маятник в положение равновесия. При малых углах отклонения , измеренному в радианах, составляющая  равна:

.

Сила  прямо пропорциональна  (угловому смещению) и направлена к положению равновесия. Силы, имеющие такой характер, называются неупругими. Она создаёт момент силы относительно оси :

,

где  - плечо силы  относительно оси . Знак минус указывает, что момент силы всегда стремится вернуть маятник в положение равновесия.

По основному закону динамики вращательного движения имеем:

,

где  - момент инерции тела,

 - угловое ускорение.

Применим данный закон к нашему случаю:

или                                      . (1)

Это дифференциальное уравнение в неявном виде выражает зависимость угла отклонения маятника от положения равновесия от времени. Чтобы получить эту зависимость в явном виде, нужно решить это уравнение. Зная, что процесс движения периодический, решение будем искать в виде:

. (2)

Убедимся, что такой вид зависимости  от времени удовлетворяет уравнению (1). Возьмём вторую производную по времени от уравнения (2). Получим:

. (3)

Подставим (2) и (3) в (1). Получим:

.

Откуда                                 . (4)

Т.е., чтобы уравнение (2) было решением уравнения (1) необходимо, чтобы  в уравнении (2) была выбрана так, чтобы выполнялось равенство (4).

Остановимся подробнее на уравнении (2). Как видно из уравнения, угол  меняется со временем по синусоидальному закону.

Когда какая-либо физическая величина колеблется по такому закону, то колебания называются гармоническими, а само уравнение (2) – уравнением гармонического колебания.

Разберёмся в физическом смысле констант , входящих в уравнение (2).

Так как максимальное значение   равно единице, то .

 - амплитуда колебания, т.е. максимального смещения от положения равновесия;

 - круговая или циклическая частота: связь с обычной частотой  даётся равенством ; или через период . (5)

С учётом этого, уравнение (2) можно переписать в виде:

или                                    ,

 - период колебания или время одного полного колебания;

 - частота колебания или число полных колебаний в единицу времени.

Величина, стоящая под знаком  - называется фазой колебания. Она имеет размерность угла, но не является углом в обычном смысле слова, его нельзя указать при движении маятника.

Если положить , то фаза окажется равной , поэтому  называют начальной фазой.

Перепишем (4) с учётом (5):

, (6)

 - момент инерции маятника относительно оси колебания ;

 - масса маятника;

 - ускорение свободного падения.

Период колебания физического маятника прямо пропорционален корню квадратному из его момента инерции и обратно пропорционален корню квадратному из его массы и расстояния от оси колебания до центра тяжести.

В выражении периода отсутствует , следовательно, при малых углах  период колебания физического маятника не зависит от амплитуды.

Период колебания можно подсчитать по формуле (6), зная геометрические размеры и форму маятника. С другой стороны его можно определить опытным путём. Для этого нужно измерить время нескольких колебаний и, разделив время  на число колебаний , получить период колебаний:                                         .

Совпадение (в пределах погрешности измерений) периодов, определённых тем и другим способом, служит подтверждением правильности приведённой теории. Такая методика и использована в данной работе.