Поверхности второго порядка

Параболоиды

Цилиндрические поверхности

3. Конические поверхности

Цели занятия: научиться строить поверхности типа параболоидов; изучить конические и цилиндрические поверхности.

Роль и место лекции

В лекцией рассмотрены такие важные типы поверхностей, как цилиндрические и конические. Материал ограничивается случаями плоской направляющей и прямой образующей. Приведенные в этой лекции сведения, необходимы при изучении тем  «Поверхности уровня» и «Дифференциал функций многих переменных и его приложения», и т. д. Обратите внимание на поверхности типа гиперболического параболоида.  

1. Параболоиды

Сферический и эллиптический параболоид

Определение 1.

Параболоидом вращения называется поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Получим поверхность, вращая кривую  – параболу, вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид  или

 .                         (1)

Если параболоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получится эллиптический параболоид

Данные поверхности изображены на рис. 1.

Гиперболический параболоид

Исследуем методом сечений поверхность

 .                                      (3)

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или  – две прямые.

Cделаем сечение плоскостью . Тогда  – гипербола.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или  – парабола.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или  – парабола.

Дополнительно сделаем сечение плоскостью . Тогда  - парабола. Т. к. в сечениях две параболы, одна гипербола, следовательно, это гиперболический параболоид рис. 2.

Определение 2.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой (образующей), параллельно самой себе и пересекающей заданную линию (направляющую).

Пусть l – образующая прямая , L – направляющая, заданная в плоскости . Тогда поверхность будет иметь вид рис. 3. Возьмем на поверхности некоторую точку . Очевидно . Следовательно, обе точки имеют одинаковые координаты x, y и при этом в не зависимости от координаты z. Следовательно, уравнение направляющей есть уравнение цилиндрической поверхности, если оно рассматривается относительно координат в пространстве

.      (4)

При этом образующая цилиндра будет параллельна оси координат одноименной с отсутствующей переменной.

В зависимости от вида направляющей различают такие цилиндрические поверхности:

а) параболический цилиндр рис. 4; б) круговой цилиндр рис. 5;

в) эллиптический цилиндр рис. 6; г) гиперболический цилиндр рис. 7.

Определение 3.

Конической поверхностью называют поверхность, образованную движением прямой (образующей), проходящей через заданную точку (вершину) и пересекающей заданную линию (направляющую).

Пусть l – образующая прямая, L – направляющая, О – вершина. Тогда поверхность будет иметь вид рис. 8.

В частном случае коническая поверхность может быть образовании вращением некоторой прямой  вокруг оси . При этом согласно правилу построения поверхностей вращения

 или  . (5)

Уравнение (5) есть уравнение прямого кругового конуса. Исследуем эту поверхность методом сечений

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

       или  – две прямые.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

       или  – две прямые.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

       или  – точка начала координат.

Дополнительно сделаем сечение плоскостью . Тогда  или   – окружность. Поверхность изображена на рис. 9.

Заключение

Отметим следующее:

- существуют прямые полностью лежащие на поверхности гиперболического параболоида;

- при деформации поверхности вращения, в конечном уравнении коэффициенты при переменных различны;

- существуют и не прямые конические поверхности;

- рассматривая уравнение плоской кривой второго порядка относительно пространственных координат, получим уравнение цилиндра.

- цилиндр имеет бесконечную длину.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Рыжков В. В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000, – 208 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989,  – 659 с.

ЗАМЕТКИ

Александр Александрович Смирнов

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ,