Классификациянапряженныхсостояний

Из уравнений (37) ... (41) можно исключить перерезывающие си­лы  а в оставшиеся уравнения подставить выражения сил Т₁, Т₂, Sи моментов через перемещения и их произ­водные и получить три дифференциальных уравнения в частных про­изводных для определения перемещений. Однако практическое реше­ние этих уравнений наталкивается на большие математические труд­ности.

Рассмотрим метод упрощения уравнений моментной теории обо­лочек,основанный на малости толщины оболочки по сравнению с ее радиусами кривизны. Средние по толщине оболочки напряжения мож­но определить из уравнений (31) ... (33):

                                            (42)

Моментные (изгибные) напряжения при можно определить из уравнений (34)...(36):

                                                        (43)

В этих формулах величина есть погонный момент сопротивления нормальных сечений оболочки, высота которых равна h, а ширина равна единице.

Рассмотрим структуру выражений для деформаций и параметров  изменений кривизны. Возьмём для определённости выражения

                                                                       (44)

                                                                                  (45)

Эти выражения не зависят от толщины hоболочки.

Рассмотрим условия влияния кривизны оболочки. Пусть - какой-либо характерный размер срединной поверхности, например радиус кривизны  торцевого сечения оболочки. Введём вместо величин безразмерные величины Тогда согласно формулам (42) и (43) суммарные напряжения в оболочке при

                                                  (46)

Так как величина h/(2R_Q)мала, то на первый взгляд из формул (46) следует парадоксальный вывод, что все слагаемые с изменения­ми кривизны можно отбросить. Но в этом случае напряжения будут определяться только деформациями безмоментного состояния.

Более глубокий анализ показывает, что величины , а следовательно, и , ,  отличаются от величин порядками част-
ных производных от перемещения . Так, из рассмотрения формул
(44) и (45) видно, что в выражение для деформации  входит толь-
ко само перемещение ,а в выражение для параметра  — вторая
производная от этого перемещения.                                     

Но дифференцирование функции может увеличить порядок ее ве­личины, т. е. максимальное значение производной может быть больше максимального значения самой функции. Порядок абсолютного зна­чения какой-либо функции можно обозначить введением фигурных скобок. Например, порядок величины wобозначается{ }.Предполо­жим, что решение уравнений моментной теории оболочек в каком-либо частном случае можно представить в форме

где Тогда

Из этих формул следует

Если  - большие числа, то можно сказать, что дифференцирование функции по  увеличивает её порядок величины в  раз, а дифференцирование по  в nраз. В теории оболочек коэффициенты  называются коэффициентами изменяемости напряжённого или деформированного состояния. Положим теперь, что Тогда и соответствующими слагаемыми в формулах (46) уже нельзя пренебрегать. В этом случае

Из этого простого анализа следуют три важных вывода.

1. Напряженное состояние моментной оболочки, описываемое функциями с малой изменяемостью, т. е. функциями, порядок которых не возрастает при дифференцировании, можно приближенжгнай-ти^'по безмоментной теории оболочек, полагая

2.Если средние напряжения от сил  и изгибные напря­жения от моментов  имеют один и тот же порядок, то соот­ветствующее напряженное состояние имеет большой коэффициент из­меняемости (в одном или двух направлениях). Его можно определить из общих уравнений теории оболочек, а также приближенных урав­нений, учитывающих различные порядки величин производных от перемещений, усилий и моментов.

3. Если изгибные напряжения значительно больше средних на­пряжений от сил  то перемещения для такого напря­женного состояния можно определить из уравнений

Это напряжённое состояние соответствует деформированию оболочки без растяжения и сдвига средней поверхности.

В общей теории тонких оболочек первое напряжённое состояние называется безмоментным, второе смешанным, третье моментным.

Краевой эффект.

В случае осесимметричной деформации положим и все величины - не зависящими от угловой координаты . В этом случае

Полная система уравнений будет иметь вид:

                                       (47)

                                                     (48)

                                                       (49)

                                           (50)

                                            (51)

                                                       (52)

                                              (53)

Если нагрузки меняются вдоль меридиана достаточно плав­но, частное решение уравнений можно, как уже указывалось, найти по формулам безмоментной теории оболочек.

Рассмотрим однородные уравнения, когда . Моментное напряженное состояние при осесимметричной деформации теряет смысл, так как из решения уравнений  получаются пере­мещения ииw,соответствующие лишь движению оболочки как твердого тела вдоль оси симметрии. Для приближенного определения смешанного напряженного состояния, которое соответствует краево­му эффекту, рассмотрим упрощения исходных уравнений, следующие из условия быстрой изменяемости напряженного состояния вдоль ме­ридиана. Будем считать,-что для всех искомых сил и перемещений вы­полняется условие

где — окружной радиус кривизны у края оболочки.

Будем также считать, что величина  для любого края оболоч­ки не слишком велика и радиусы кривизны R_{l ,}R₂изменяются вдоль меридиана достаточно плавно. Естественно предположить, что порядок величины перемещения выше порядка величины перемещения и.

Положим, что  Тогда главные значения величин, опре­деленных формулами (47) и (48), равны:

                                                (54)

Из этих уравнений следует, что Поэтому можно считать, что

                                                    (55)

Из соотношения (51) с той же точностью следует

                                                          (56)

Уравнения равновесия (52) и (53) сразу упростить нельзя, так как неизвестен относительный порядок величин . Исключим из этих двух уравнений величину  Умножим уравнение (53) на  и сложим его с уравнением (52). Так как по условию , получим

Умножив последнее уравнение на , получим

                                          (57)

Константа соответствующая продольной силе

                                                       (58)

Уравнение для краевого эффекта примет вид

                                                    (59)

Сравним порядки величин меридионального и окружного усилий в краевой зоне.

Следовательно получим

Подставив эту зависимость в выражение (59), получим

Обозначим  =12(1-

                                                   (60)

Для сферической оболочки и коэффициент является постоянным большим числом (при

При k=constполучаем

                        (61)

Где A,B,Cи D - произвольные константы.

Выражение (61) обладает тем свойством, что при каждом дифференцировании оно возрастает в kраз:

Следовательно, это решение удовлетворяет условию малости функции по сравнению с производной.

Рассмотрим затухающую часть выражения (61):

Величины  являются периодическими функциями угловой координаты  - по значению они не больше единицы. При увеличении угла  на период перемещения уменьшается в раз, т.е. становится пренебрежимо малой величиной. Длина отрезка меридиана, соответствующая этому периоду, равна

Рассмотрим последовательность расчета осесимметрично нагру­женной оболочки вращения по моментной теории с разделением на­пряженного состояния на безмоментное и краевой эффект.

Сначала по безмоментной теории определяют силы Т_ъТ₂и пере­мещения и,wпо заданным внешним нагрузкам и граничным условиям для величины Т_хили и.(В выражение для перемещений может входить константа интегрирования, соответствующая перемещению оболоч­ки как твердого тела.)

Затем, решая однородные уравнения краевого эффекта для каж­дого торца, находят общие выражения для величин е₂, Ъ_ХУМ_ги Q_xчерез соответствующие константы интегрирования (по две константы на каждом торце).

Наконец, составляют граничные условия для каждого торца обо­лочки. Если заданы силовые граничные условия, т. е. величины М_г и Q_l9то сразу определяют константы интегрирования уравнений крае­вого эффекта. Если заданы геометрические условия, т. е. величины s₂ и то по значениям перемещений ииwбезмоментного решения определяют величины е_2о и O_lQ(перемещение оболочки как твердого тела в них не войдет) и составляют суммарные выражения для е₂ и $_г от безмоментного решения и краевого эффекта. Константы ин­тегрирования, входящие в эти выражения, определяют из заданных геометрических граничных условий.