Осесимметричная задача для безмоментной оболочки.

Принимая а перемещения  и силы зависящими только от координаты  (или s), получаем уравнения равновесия:

                                                  (10)

                                                                                    (11)

выражения деформаций через перемещения:

                                                                        (12)

                                                                          (13)

где

закон Гука с учётом температурного расширения:

                                                   (14)

                                                   (15)

Из уравнения (11) окружная сила равна

                                                                 (16)

Подставляя выражение (16) в уравнение (10) и учитывая, что

получаем

                                               (17)

Примем

Где P=P(s) - новая искомая функция. Подставляя это выражение для  в уравнение (17) и учитывая тождества

получаем после умножения на

Отсюда

                                                 (18)

где  определяет граничное сечение оболочки. Величина есть проекция нагрузки но ось x.

Тогда,

                                                                        (19)

-продольная сила, приложенная в торцевом сечении; -осевая нагрузка, действующая на элементарное кольцо оболочки длиной ds.

Следовательно, формула (19) определяет эпюру продольных сил, растягивающих оболочку как стержень переменного сечения. Окружное усилие передаётся из формулы (16)

                                                             (20)

Рассмотрим практически нагружение оболочки внутренним давлением.

Принимая  и из уравнения (18) получаем

                                                        (21)

при нагружении внутренним давлением  то

                                                              (22)

Формулу (22) легко получить непосредственно из теоремы Паскаля, так как -проекция поверхности оболочки на плоскость, перпендикулярную направлению действия силы Р. В этом случае меридиональное усилие  . Но  Следовательно

Кольцевое усилие

Для цилиндрической оболочки

Для сферической оболочки

По безмоментной теории оболочек перемещения точек срединной поверхности легко найти из уравнений (12), (13), (16) если известны силы

                                                         (23)

Вычитая из первого уравнения второе, получаем

                                                               (24)

где

Интегрируя выражение (24), находим

                                                        (25)

Произвольная константа С соответствует перемещению оболочки как твёрдого тела вдоль оси х. Из уравнения (23) получим

               (26)

                                                               (27)

Перемещение в направлении оси вращения оболочки определяется формулой . Тогда получаем

                 (28)

Для цилиндрических и конических оболочек, где неудобно пользоваться независимой переменной , можно оперировать формулами (12)...(16), принимая

Получим

                                                   (29)

Отсюда интегрированием определяют перемещение u. Перемещение  определяют из уравнения (23). Для сферической оболочки и

Рассмотрим условия сопряжения двух оболочек вращения на основе безмоментной теории. В месте стыка угол  меняется скачками на величину

Проекция этих же сил на плоскость параллели даст погонную нагрузка

Эта нагрузка не может быть воспринята безмоментными оболочками. Стык должен быть усилен достаточно прочным и жестким шпангоутом. Нагрузка  будет расчётной сжимающей нагрузкой для этого шпангоута.

Сжимающие усилие в шпангоуте

Например, для шпангоута в стыке цилиндрической оболочки со сферическим днищем, нагруженным равномерным гидростатическим давлением P, имеем , так как в этом случае , где R-радиус кривизны днища, а