Основы теории оболочек вращения

Оболочка - тонкостенная конструкция, с постоянной толщиной.

Основным геометрически понятием теории оболочек постоянной толщины являются понятия срединной поверхности и слоя оболочки.

Срединной или средней поверхностью оболочки называется поверхность, равноудалённая от её внутренней и наружной поверхностей.

Безмоментную оболочку можно рассматривать как приближённую модель реальной оболочки, если в последней не учитывать изгибающие и крутящие моменты.

Обозначим Эти напряжения равномерно распределённые по толщине h. Вместо напряжений можно рассматривать погонные силы действующие в срединной поверхности.

Внешние нагрузки, действующие на оболочку, отнесённые к площади элемента срединной поверхности , обозначим так:

Площадь элемента . Внешние силы производят работу на перемещениях  соответственно. Чтобы составить уравнения равновесия в тангенциальной плоскости, надо рассмотреть равновесие плоской трапеции  с углом между направлениями  и . Длины сторон АВ,  трапеции соответственно равны

Так как то, проектируя все силы на ось, перпендикулярную сторонам АВ и  трапеции, получим

                                                                                             (1)

Сокращая на величину  и полагая в соответствии с правилами дифференциального исчисления получаем

                                             (2)

Но

                                                          (3)

следовательно, разделив уравнение (2) на величину r, получим

                                                    (4)

Второе уравнение равновесия в тангенциальной плоскости удобнее всего получить, взяв сумму моментов всех сил относительно точки  пересечения сторон  трапеции.

сократив на величину  и полагая , найдём

                                              (5)

Разделив уравнение (5) на величину arи учитывая тождества (3) получим

                                                                 (6)

Третье уравнение равновесия получим, составив сумму проекций всех сил на направление внутренней нормали к поверхности. Силы лежат в плоскости меридиана и угол между ними составляет . С точностью до величины второго порядка малости силы  лежат в нормальной плоскости и угол между ними равен . Сумма проекций всех сил на нормаль с требуемой точностью будет определена по зависимости

Разделив это уравнение на , с учётом предыдущих выражений получим

                                                                                   (7)

Уравнения (4),(6),(7)являются искомыми уравнениями равновесия элемента безмоментной оболочки вращения.

Силы связаны законом Гука с деформациями  срединной поверхности.

Для изотропной упругой оболочки с учётом температурного расширения

                                                   (8)

Здесь Е иG - соответственно модуль Юнга и модуль сдвига материала оболочки; приращение температуры в срединной поверхности оболочки.

Система уравнений будет полной, если добавить ранее полученные выражения деформаций через перемещения

                                                                    (9)

Через перемещение вдоль радиуса rудлинение  выражается формулой

Отличительной чертой полученных уравнений является то, что они допускают раздельное интегрирование. Интегрируя уравнения (4),(6),(7), можно найти общие выражения для сил , затем определить деформации  из выражений (8) закон Гука и, наконец, найти общие выражения для перемещений  интегрируя уравнения (9).

При расчёте оболочки по безмоментной теории принципиально важна правильная формулировка граничных условий. Анализ полной системы уравнений показывает, что в безмоментной теории оболочек на каждом торце можно задавать только два тангенциальных граничных условия, в которые могут входить либо тангенциальные силы либо тангенциальные перемещения  Может существовать комбинация величин  или sи u, и невозможно рассматривать условия  одновременно с u, так же как sc . Граничные условия по  можно удовлетворить, рассматривая моментную теорию оболочек.