Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Рассмотрим одномерный стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня. Постановка задачи. Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные: · температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=300 0С и α1=5 Вт/м2 0С, со стороны правой – Та2=00С и α2=20 Вт/м2 0С; · длина стержня L равна 20 мм; · теплопроводность стержня λ = 0,1 Вт/м 0С; · радиус стержневого элемента r= 5 мм. Решение задачи. Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на три конечных объема длиной Δx=0.01м и площадью сечения S, равной площади поперечного сечения стержня. Соответствующая тепловая схема приведена на рис 1.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис 1.1 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 3 (на правом торце стержня).
а) б)
Рисунок 3. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы (а) и его тепловая схема (б)
Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовавшись интегральным уравнением теплового баланса
где Vi = S∆xi – объем i-го элемента; S*i- площадь всей поверхности выделенного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему. Поверхностный интеграл в левой части уравнения выражает суммарный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учитывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направлении перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой поверхности стержень) можно записать, например, для узла 2, что
где J2 и J3 - тепловые потоки на левой и правой границах выделенного объема. За положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового потока. Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 и внутренние источники теплоты отсутствуют, то уравнение принимает следующий вид:
Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:
где R1, R2, R3, R4 – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами. Баланс потоков теплоты, протекающих в ветвях соединенных с узлами 1, 2, 3 выражаются следующими уравнениями
Ориентированный граф тепловой схемы представлен на рис.4. Номера ветвей указаны в кружках.
Рисунок 4. Ориентированный граф тепловой схемы
В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.
Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4||Т, систему уравнений можно записать в матричном виде AJ=0 Матрица A называется матрицей инциденции, для рассматриваемого случая имеет размерность 3*4 и равна:
Уравнение является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа и расположены согласно их номерам от 1 до 3 сверху вниз, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме. Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца ΔT:
Введя вектор столбец температур узлов графа
простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец можно записать в следующем матричном виде:
где - вектор-столбец известных температур в ветвях 1 и 4 тепловой схемы. Сравнение матрицы инциденций A и матрицы в соотношении показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна АТ, поэтому вектор-столбец ΔТ в соотношении можно записать в матричном виде через транспонированную матрицу инциденций АТ, т.е.
ΔТ=АТТ
Полученные матрично-топологические соотношения и устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы. Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа. Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями. Выше было показано, что тепловой поток Ji в i-ой ветви равен Ji=giΔTi. Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде:
где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа. Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость gi (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен gi. Конвективные тепловые проводимости с торцов стержня, которые входят в ветви с номерами 1 и 4 равны соответственно и . Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят в ветви с номерами 2 и 3 равны и Строим матрицу проводимостей G:
Введем матрицу B, которая находится по формуле:
где АТ – транспонированная матрица А.
Подставляя выражения (1.8), (1.12), (1.15) и (1.16) в уравнение (1.18)
находим искомые температуры в узлах стержневого элемента.
Отсюда температуры равны:Т1=166.7 0С; Т2=100 0С; Т3=33.3 0С.
Распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе представлены на рис. 5.
Рисунок 5. График распределения температур по длине одномерного стержня Список использованной литературы 1. Баширов Н.Г. Моделирование теплообмена в теплоэнергетической системе на основе Mathcad: учебное пособие / Н.Г. Баширов. – Вологда: ВоГТУ, 2008. -90 с. 2. Швыдкий, В.С. Элементы теории систем и численные методы моделирования процессов тепломассопереноса: учебник для вузов / В.С Швыдкий. – СПб: Питер, 2000. -592 с.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 260. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |