Тепловая схема составного стержня

Рассмотрим составной стержневой элемент, состоящий из двух кусков разных материалов. Температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня. Разобьем стержень на равные конечные объемы и зададим граничные условия 1 рода, т.е. на левом и правом торцах стержня известна температура Т1 и Т5 соответственно.

Постановка задачи.

Для решения задачи примем следующие начальные данные:

· температура Т1 на левом торце стержня равна 600 ⁰С;

· температура Т1 на правом торце равна 60 ⁰С;

· теплопроводности материалов λ₁= 50 Вт/м ⁰С; λ₂= 20 Вт/м ⁰С;

· длина стержня l=0.02 м;

· расстояние между границами элементарного объема Δx = 0.005м.

Решение задачи.

В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.6, (а) от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 5 (на правом торце стержня).

Составной стержень, разбитый на конечные объемы (а), тепловая схема (б), показаны на рис. 6.

                  а)

                  б)

Рисунок 6. Составной стержень (а), его тепловая схема (б)

Так как, задача является стационарной, т.е. dT/dt = 0 и внутренние источники теплоты  отсутствуют, то запишем уравнения баланса потоков теплоты для узлов тепловой схемы:

По выражению (3.1) можно составить матрицу инциденции А, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 3*4:

Вектор-столбец известных температур в ветвях 1 и 4 тепловой схемы равен:

Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят во все ветви р тепловой схемы равны ; ; ; .

Строим диагональную матрицу G, которая имеет размерность 4*4:

Вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением

Введем матрицу    и выразив Т, находим распределение температуры в узлах термодинамического стержневого элемента:

где ф₁, ф₂, ф₃ - объемные плотности внутренних источников теплоты;

λ₁, λ₂, λ₃-теплопроводности материалов, Вт/м ⁰С;

Объемные плотности внутренних источников теплоты определяются по следующим выражениям:

                   ф₁=I²ρ₁/A², ф₂=I²ρ₂/A², ф₃=I²ρ₃/A²,                                      

где ρ₁, ρ₂, ρ₃, - удельные сопротивления проводников, Ом∙мм²/м;

A - площадь поперечного сечения стержня, м²;

I - сила тока, А.

ф₁=1²∙0,1∙10^-4/(1,25∙10^-3) ²=6,34 Вт/м³;

ф₂=1²∙0,028∙10^-4/(1,25∙10^-3) ²=1.77 Вт/м³;

ф₃=1²∙0,15∙10^-4/(1,25∙10^-3) ²=9,5 Вт/м³;

Узлы 1, 4, 6, 9 лежат на границах составного стержня, узлы 2, 3, 5, 7, 8 лежат внутри стержня. Границы конечных объемов проходят посередине между уз­лами. Тепловые кондуктивные сопротивления равны R_i= h_i/λ₁S, i = 1,2,3, R_i= h_i/λ₂S, i = 4,5,  R_i= h_i/λ₃S i = 6,7,8; конвективное тепловое со­противление R₉ = 1/αS, где α - задано. Независимые источники внутренних тепловых потоков Ф_i, i = 1,..., 9, включенные в тепловую схему равны

      Ф_i=Aф₁∆_i-1 i= 1,2,3; Ф₄=Aф₁∆’₃+Aф₂∆’’₃; Ф₅=Aф₂∆₄;

              Ф₆=Aф₂∆’₅+ Aф₃∆’’₅; Ф_i=Aф₃∆_i-1, i= 7,8,9.                          

Подставляя данные выражения, находим

Ф1= 1,25∙10^-3 ∙6,34∙0,02=1,59∙10^-4 Вт;

Ф2= 1,25∙10^-3 ∙6,34∙0,04=3.18∙10^-4 Вт;

Ф3=1,25∙10^-3 ∙6,34∙0,04=3,18∙10^-4 Вт;  

Ф4=1,25∙10^-3 ∙6,34∙0,02+1,25∙10^-3 ∙1.77∙0,02=2,04∙10^-4 Вт;

Ф5= 1,25∙10^-3 ∙1.77∙0,04=8,9∙10^-5 Вт;

Ф6=1,25∙10^-3 ∙1.77∙0,02+1,25∙10^-3 ∙9.5∙0,02=2,83∙10^-4 Вт;

Ф7=1,25∙10^-3 ∙9.5∙0,04=4,77∙10^-4 Вт;

Ф8=1,25∙10^-3 ∙9.5∙0,04=4,77∙10^-4 Вт;

Ф9=1,25∙10^-3 ∙9.5∙0,02=2.39∙10^-4 Вт.

В соответствии с нумерацией узлов, ветвей и выбранными направлениями в ветвях (в данном случае номера ветвей совпадают с номерами тепловых со­противлений), матрица инциденций А имеет размерность 9×10 и равна

Матрица проводимостей G диагональная, ее диагональные элементы равны g_i=R^-_i¹, i = 1,2,..., 10.

Вектор-столбец независимых источников тепловых пото­ков J равен

                  J =||Ф1Ф2 Ф3 Ф4 Ф5 Ф6 Ф7 Ф8 Ф9||^Т.                             

Вектор-столбец известных температур независимых источников температур равен

                     Т_а = ||0 0 0 0 0 0 0 0 Та1 Tа2||^T.                                       

    Вектор-столбец неизвестных температур Т = ||Т₁T₂… T₉||^T в узлах тепловой схемы определяется матричным уравнением

                                              AGA^TT = J + AGT_а                                           

Примем В=АGA^T и выразив Т, представим  в виде следующего выражения:

                                               Т=В^-1∙J+ В^-1∙A∙G∙T_a                                          

Находим распределение температур в узлах стержневого элемента:

                                              ,                  

где T – матрица распределения температур в узлах стержня при Та1=60 ⁰С и Та2=60 ⁰С;

T1– матрица распределения температур в узлах стержня при Та1=100 ⁰С и Та2=100 ⁰С;

X - матрица расстояний между узлами стержня.

Распределение температуры в составном стержневом термодинамическом элементе представлены на рис. 7.

Рисунок 7. График распределения температур по длине составного стержня

На рисунке 7 сплошной криволинейной линией показано распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе при заданных выше начальных данных, т.е. при температурах Та1 и Та2 на торцах стержня равными 60 ⁰С. При изменении этих температур на торца стержня, примем Та1=100 ⁰С и Та2=100 ⁰С, график распределения температур изменяется и представляет собой пунктирную линию.