Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности.

 Задание 1.

Расчет температурных полей твердого тела в стационарном состоянии: дан однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности.

       Рассматриваем одномерный стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня.

Постановка задачи.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

· температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=300 ⁰С и α1=5 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=0⁰С и α2=20 Вт/м^{2 0}С;

· длина стержня L равна 20 мм;

· теплопроводность стержня λ = 0,1 Вт/м ⁰С;

· радиус стержневого элемента r= 5 мм.

 Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на три конечных объема длиной Δx=0.01мм и площадью сечения A, равной площади поперечного сечения стержня. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.3.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.1. от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 3 (на правом торце стержня).

а)

          б)

Рисунок 1. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы (а) и его тепловая схема (б).

Для расчета рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовав­шись интегральным уравнением теплового баланса

     ,                                    (1)

где Vi = A∆xi – объем i-го элемента; S_i- площадь всей поверхности выде­ленного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-ому выделенному объему.

Поверхностный интеграл в левой части уравнения (1) выражает суммар­ный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учи­тывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направле­нии перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой по­верхности стержень) можно записать интеграл, например, для узла 2

                                                           (2)

где J₂ и J₃ - тепловые потоки на левой и правой границах выделенного объема. За положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового по­тока.

Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt=0 и внутренние источники теплоты  отсутствуют, то уравнение (1) принимает следующий вид:

                                                                           (3)

Составляем уравнения теплового баланса для узлов тепловой схемы, которые имеют вид:

                                                                               (4)

где R1, R2, R3, R4 – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами. 

Баланс потоков теплоты, протекающих в ветвях соединенных с узлами 1, 2, 3 выражаются следующими уравнениями

                                                                            (5)

На основе уравнений баланса составляем ориентированный граф, представленный на рис.2. Номера ветвей указаны в кружках.

Рисунок 2. Ориентированный граф тепловой схемы

В стационарном случае, вектор-столбец неизвестных температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.

                                                          (6)

Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей

 J=||J1 J2 J3 J4||^Т,

систему уравнений можно записать в матричном виде

           AJ=0.                                                                                  (7)

 Матрица A называется матрицей инциденций, для рассматриваемого случая она имеет размерность 3*4 и равна:

                                                                                  (8)

 Уравнение (7) является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа и расположены согласно их номерам от 1 до 3 сверху вниз, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме.

Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца ΔT:

                                                                               (9)

Введя вектор столбец неизвестных температур узлов графа

                                                                 (10)

простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец (9) можно записать в следующем матричном виде:

                              (11)

где                                                                                               (12)

                                                      
- вектор-столбец известных температур в ветвях 1 и 4 тепловой схемы.

Сравнение матрицы инциденций A (8) и матрицы в соотношении (11) показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна А^Т, поэтому вектор-столбец ΔТ (9) в соотношении (11) можно записать в матричном виде через транспонированную матрицу инциденций  А^Т,  т.е.

        ΔТ=А^ТТ                                                                          (13)

Полученные матрично-топологические соотношения (7) и (9) устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций  А отображает структуру тепловой схемы.

Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа.

Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями.

Выше было показано, что тепловой поток J_i в i-ой ветви равен   J_i=g_i ΔT_i.

Тогда связь векторов-столбцов  J  и ΔТ  может быть записана в следующем матричном виде:

                                                                                  (14)

где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа.

Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость g_i (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен g_i.

Конвективные тепловые проводимости с торцов стержня, которые входят в ветви с номерами 1 и 4 равны соответственно    и ..

Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят в ветви с номерами 2 и 3 равны         и       .

Строим матрицу проводимостей G:

                                                   (15)

Введем матрицу B, которая находится по формуле:

           ,                                                                                 (16)

где А^Т – транспонированная матрица А.

                                                                    (17)    

Подставляя выражения (8), (12),  (15) и  (16) в уравнение  (18)

                                                                            (18)

находим искомые температуры в узлах стержневого элемента.

                                                                                     (19)

Отсюда температуры равны: Т1=166.7 ⁰С;   Т2=100 ⁰С;  Т3=33.3 ⁰С.

Распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе представлены на рис. 3.

Рисунок 3. График распределения температур по длине одномерного    стержня.