Одномерный составной стержень, с теплообменом с боковой поверхности с внутренним источником теплоты

Возьмем стержень длиной l, с боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой, состоящий из трех кусков (рис.4.4.) с коэффициентами теплопроводности λ₁ λ₂ λ₃ (алюминий, медь, серебро), длиной l₁, l₂, l₃ (l₁+ l₂+ l₃ =l). По стержню пускается электрический ток силой I.

Рис.4. Одномерный составной стержень с внутренним источником теплоты, с боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой

Введем данные, необходимые для расчета стержня:

· Длина: l=0.16m;

· Сила тока: I=1A;

· Температуры среды: T_{a вх}=300 ⁰С, T_{a нар}=50⁰С, Т_{а вых}=60 ⁰С; 

· Площадь поперечного сечения: А₀=3,14*0,02²;

· Коэффициенты теплоотдачи:

1. C левого торца стержня: α1=10000 ;

2. У боковой поверхности: α2=100 ;

3. У правого торца стержня: α1=10000 ;

· Удельные сопротивления и коэффициенты теплопроводности проводников:

1. ρ1=0.028 , λ=20         (алюминий)

2. ρ1=0,017 , λ1=39       (медь)

3. ρ1=0,016 , λ1=40       (серебро)

Запишем формулы для объемных плотностей внутренних источников теплоты, обусловленных эффектом Джоуля при прохождении электрического тока:

Независимые источники внутренних тепловых потоков равны:

Изобразим тепловую схему для одномерного составного стержня:

Рис. 5. Тепловая схема одномерного составного стержня 

На тепловой схеме нумеруем узлы в произвольном порядке. Узлы между последовательно соединенными тепловыми проводимостями и источниками заданных температур не вводятся. Обозначим число узлов N.

Нумеруем в произвольном порядке ветви тепловой схемы, но только те, которые имеют тепловые проводимости и ветви, с последовательно соединенными проводимостями и источниками заданных температур. Обозначим число таких ветвей М.

Обозначим направления тепловых потоков на рисунке 6.

Рис.6. Направления тепловых потоков по стержню

Запишем баланс потоков теплоты протекающих в ветвях стержня:

т.1) Q1+Q2+Q11+Q12=0

т.2) –Q2+Q3+Q13+Q14=0

т.3) –Q3+Q4+Q15+Q16=0

т.4) –Q4+Q5+Q17+Q18=0

т.5) –Q5+Q6+Q19+Q20=0

т.6) –Q6+Q7+Q21+Q22=0

т.7) –Q7+Q8+Q23+Q24=0

т.8) –Q8+Q9+Q25+Q26=0

т.9) –Q9+Q10+Q27+Q28=0

Тепловой поток Q берем со знаком: “+”, если он выходит из узла; “- “, если поток входит в узел.

 Составляем матрицу инциденции А, число строк которой равно N, а число столбцов равно М. Элемент i матрицы А равен: +1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви выходит из i-го узла; -1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви входит в i-й узел; 0, если ветвь q не соединена с узлом i.

Составляем матрицу проводимостей G, число строк и столбцов которой равно М. Матрица G диагональная и ее диагональные элементы ii равны тепловым проводимостям ветвей g_i, i=1,2,…,М.

Разность температуры ΔТ_i в i-й ветви, включенной между узлами 1 и 2 равна ΔТ_i = T₁ – T₂ (поток теплоты направлен от узла 1 к узлу 2). Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора столбца ΔТ. 

Далее составляется вектор – столбец Т_а известных температур в независимых источниках температур, с числом элементов равным М. Элемент i вектора – столбца Т_а равен: нулю, если данная ветвь i не содержит источника температуры; заданной температуре T_ai, если ветвь i содержит источник температуры T_ai. Если направление потока в ветви соответствует положительному направлению, то величина T_ai , берется со знаком (+), если отрицательному – со знаком (-).

Вектор-столбец независимых источников тепловых потоков равен:

Вектор – столбец неизвестных температур в узлах тепловой схемы

определяется матричным уравнением:

AGA^TT=Q+AGT_a

т.к. матрицы А,G,A^T известны, то заменим их одним символом:

тогда окончательный вид уравнения для расчета температур в узлах стержня примет вид:  

Математическая программа Mathcad автоматически выводит результат расчета в виде матрицы.