Основные логические операции и их таблицы истинности.

Употребляемые в обычной речи связки «и», «или», «не», «если …, то...», «тогда и только тогда, когда ...»и т. п. позволяют из уже заданных высказываний строить новые сложные высказывания. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как логических операций над высказываниями. Для обозначения истинности, как правило, используют символы «И» и «1», а для обозначения ложности — символы «Л» и «0».

Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний.

В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

1. Высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «и», называется КОНЪЮНКЦИЕЙ или ЛОГИЧЕСКИМ УМНОЖЕНИЕМ. Высказывая конъюнкцию, мы утверждаем, чтовыполняются оба события, о которых идет речь в составляющих высказываниях. Например, сообщая:

{Ивыновы привезли на зиму уголь и закупили дрова на растопку камина},

мы выражаем в одном высказывании свое убеждение в том, что произошли оба этих события.

КОНЪЮНКЦИЯ — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Логическая операция конъюнкция определяется следующей таблицей, которую называют таблицей истинности:

2. Высказывание, состоящее из двух высказываний, объединенных связкой «или», называется ДИЗЪЮНКЦИЕЙ или ЛОГИЧЕСКИМ СЛОЖЕНИЕМ, НЕСТРОГОЙ ДИЗЪЮНКЦИЕЙ. В высказываниях, связку «или», указывается на существование двух возможных событий, из которых хотя бы одно должно быть осуществлено. Например, сообщая:

{Петя читает книгу или пьет чай},

мы имеем ввиду, что хотя бы что-либо одно Петя делает. При этом Петя может одновременно читать книгу и пить чай. И в этом случае дизъюнкция будет истинна.

ДИЗЪЮНКЦИЯ — логическая операция, которая каждым двум элементарным высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Логическая операция дизъюнкции определяется следующей таблицей истинности:

Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из двух образующих ее высказываний истинно.

Союз «или» может применяться в речи и в другом, «исключающем» смысле. Тогда он соответствует другому высказыванию — разделительной, или строгой дизъюнкции.

3. Высказывание, образованное из двух высказываний, объединенных связкой «либо» (точнее: «либо только …, либо только ...»), называется РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ (СТРОГОЙ) ДИЗЪЮНКЦИЕЙ.

В отличие от обычной дизъюнкции (связка «или»), в высказывании, являющемся разделительной дизъюнкцией, мы утверждаем, что произойдет только одно событие из двух. Например, сообщая:

{Петя сидит на трибуне А либо на трибуне Б},

мы утверждаем, что Петя сидит либо только на трибуне А, либо только на трибуне Б.

СТРОГАЯ, ИЛИ РАЗДЕЛЬТЕЛЬНАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ — логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда ровно одно из двух логических высказываний является истинным. Эта логическая операция определяется следующей таблицей истинности:

4. Предложение, образованное из двух предложений, объединенных связкой «если …, то...», в грамматике называется условным предложением, а в логике такое высказывание называется ИМПЛИКАЦИЕЙ.

Импликацию мы используем тогда, когда хотим показать, что некоторое событие зависит от другого события. Например, пусть человек сказал: «Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять». Здесь p = {Завтра будет хорошая погода} и q = {Я пойду гулять}. Ясно, что человек окажется лжецом лишь в том случае, если погода действительно окажется хорошей, а гулять он не пойдет. Если же погода будет плохой, то независимо от того, пойдет он гулять или нет, во лжи его нельзя обвинить: обещание пойти гулять он давал лишь при условии, что погода будет хорошей.

ИМПЛИКАЦИЯ — логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие(посылка) — истинно, а следствие (заключение) — ложно. Она имеет следующую таблицу истинности:

Импликация, образованная из высказываний А и В, может быть записана на естественном языке при помощи следующих предложений: «Если А, то В», «Из А следует В», «А влечет В».

5. Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», в логике называется ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬЮ. Эквивалентность используется в тех случаях, когда необходимо выразить взаимную обусловленность. Например, сообщая:

{Я получу паспорт тогда и только тогда, когда мне будет 14 лет},

человек утверждает не только то, что после того, как ему исполнится 14 лет, он получит паспорт, но и то, что паспорт он сможет получить только после того, как ему исполнится 14 лет.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ — логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинныы или одновременно ложны. Она имеет следующую таблицу истинности:

В математических теоремах эквивалентность выражается связкой «необходимо и достаточно».

6. Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т. е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко применяется и одноместная (унарная) операция ОТРИЦАНИЕ.

ОТРИЦАНИЕ — логическая операция, которая каждому элементарному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Имеет следующую таблицу истинности:

В русском языке для построения отрицания используется связка «неверно, что». Хотя связка «неверно, что» и не связывает двух каких либо высказываний в одно, она трактуется логиками как логическая связка, поскольку, поставленная перед произвольным высказыванием, образует из него новое.