Алгебра логики. Понятие высказывания.

Алгебра логики изучает свойства функций, у которых и аргументы, и значения принадлежат заданному двухэлементному множеству (например, (0, 1)). Иногда вместо термина «алгебра логики» употребляют термин «двузначная логика».

Отцом алгебры логики по праву считается английский математик XIX столетия Джордж Буль.

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Определение 1.Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Это словесное определение, не является математически точным, только на первый взгляд кажется удовлетворительным. Оно отсылает проблему определения высказывания к проблеме определения истинности или ложности данного языкового образования. Если рассматривать в качестве высказываний любые утвердительные предложения, то это быстро приводит к парадоксам и противоречиям. Например, предложению «Это предложение является ложным» невозможно приписать никакого значения истинности без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит его смыслу. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что предложение на самом деле истинно. Как видно, этому предложению осмысленно нельзя приписать какое-либо значение истинности, следовательно, оно не является высказыванием.

Определение 2.Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть не является высказыванием.

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражения можно составить высказывание, соединив их знаком равенства или неравенства. Сами числовые выражения высказываниями не являются. Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Мы можем договориться, что абсурдное по смыслу высказывание «Крокодилы летают» является истинным, и с этим значением высказывания будем работать.