Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r_C=∑P_ir_i/P.

X_C=∑P_ix_i/P; Y_c=∑P_iy_i/P; Z_C=∑P_iz_i/P

Вес тела P=∑P_i, P_i – сила тяжести частицы.

Методы определения координат центра тяжести тела.

1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.

2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то

r_C=(V₁r_C1+V₂r_C2+…+V_nr_Cn)/V

Отрицательные массы:

r_C=V_сплr_C-V₁r_C1-…-V_nr_Cn, где V_k, r_Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела.

3) Интегрирование: если тело нельзя разбить)

X_C=(∫xdV)/V, Y_C=(∫ydV)/V,

Z_C=(∫zdV)/V

Билет №20.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Опр-е ускорения точки в сложном движении

V_M=V_O+[ ωr]+ V_r

W_M=d V_M/dt=(d V_O/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d V_r/dt

dr/dt=[ ωr]+ V_r

W_M=W_o+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω V_r]+ [ ωV_r]+W_r

d V_r/dt=[ ω V_r]+ W_r

W_k=2[ω V_r]

W_M=W_L+W_r+W_K – кинематическая теорема Кариолиса

Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса

Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.

Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении

Ускорение Кариолиса.

Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и V_r и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к V_r кажется видным против хода часовой стрелки.

Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~(F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=M_B(F).

Получаем:

F~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

Билет №21.

1. Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Примеры.
2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского.

Полное ускорение точки А, участвующей в сложном движении

a_A=a_r+a_e+2ω×v_r. Слагаемое a_К=2ω×v_r называется ускорением Кориолиса.

a_K=2ωv_rsin(ω,v_r). Частные случаи:

А) ωº0 – смена знака

Б) v_rº0 – относительный покой (смена знака движения).

В) sin(ω,v_r)º0, ω||v_r.

Правило Жуковского. Ускорение Кориолиса равно проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную ω, увеличенной в 2ω раз и повернутой на 90° в направлении круговой стрелки ω.

2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару.

Пара сил – система 2-х равных по модулю и противоположных по направлению сил, действующих на твердое тело. ∑F=0; ∑M≠0.

Расстояние между линиями действия – плечо d. Пара сил характеризуется плоскостью действия, моментом пары.

ТЕОРЕМА: Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из её сил относительно другой.

Доказательство:

M_O(F₁)+M_O(F₂)=r_AxF₁+r_AxF₂= r_AxF₁-r_BxF₁=(r_A-r_B) xF₁. Из сложения треугольником OA+AB=OB=>AB=OB-OA => M_O(F₁)+M_O(F₂)=ABxF₁=M_A(F₁) => сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.

Билет №22.

1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.
2. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.

Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.

В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О, абсолютное движение будет сферическим движением вокруг точки О.

ω=ω_e+ω_r. Скорость любой точки, лежащей на линии по которой направлен вектор ω v=ω×r=0. Скорость любой точки М тела в данном случае можно определить так: v_M=ω×r_M=(ω_e+ω_r)×r_M=v_e+v_r.

v_e=ω_e∙h_e; v_r=ω_r∙h_r; v=ω∙h;

где h_e, h_r, h – кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения.

Зависимость между главными моментами сил относительно 2 центров приведения.

Главный момент системы сил относительно второго центра приведения О₁ равен вектору главного момента системы сил относительно первого центра приведения О, плюс векторный момент главного вектора, приложенного в первом центре приведения относительно второго центра.

Доказательство:

Момент относительно любой точки O1 M_O1=∑(r_O1ixF_i). Момент относительно первого центра приведения О M_O=∑(r_OixF_i). Причем r_O1i=O₁O+r_Oi.

M_O1=∑(O₁O+r_O1)xF_i=O₁O∑Fi+ ∑(r_OixFi)=M_O+O₁OxR= M_O+M_O1(R).

M_O1= M_O+M_O1(R) (1)

Билет №23.

1. Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении МЦУ.
2. Система сходящихся сил. Условия равновесия.

Определение ускорения точек плоской фигуры с помощью МЦУ.

Зная положение МЦУ и ускорение какой-либо точки плоской фигуры можно найти ускорение всех точек плоской фигуры.

Пусть известна величина и направление точки А a_A плоской фигуры и МЦУ – Q. Тогда ускорение любой другой точки B плоской фигуры будет лежать под углом α, равным углу между a_A и QA против направления круговой стрелки ε.. Его величина a_B=QB/√ε²+ωюбюб⁴=QBa_A/ AQ.

Система сходящихся сил. Условия равновесия.

Система сил называется сходящейся, если линии всех сил пересекаются в одной точке. Попарно поочередно сложим эти силы, перенесенные к точке пересечения. Тогда R=∑F_k – главный вектор, так как R₁₂=F₁+F₂, R₁₃=R₁₂+F₃ и т. д.

R_x=∑F_ix R=√(R_x²+R_y²+R_z²), cos(x,R)=R_x/R – аналитический способ задания.

Условия равновесия.

Система находится в равновесии когда главный вектор R=0.

А) Векторная форма: R=∑F_k=0;

Б) Аналитическая форма: R_x=F_kx=0, R_y=F_ky=0, R_z=F_kz=0;

В) Графическая форма: замкнут многоугольник сил.

Билет №24.