Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

V_A=ω×r_A. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.

                 i  j k

V_M=ω×r_M= ω_x ω_y ω_z

                 X_M Y_M Z_M

X/ω_x=Y/ω_y=Z/ω_z – мгновенная ось вращения.

a_A=dv/dt=dω/dt×r_A+ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×v_A=a_A^вр+a_A^ос.

a_A^вр=ε×r_A – вращательное ускорение точки.

a_A^ос=ω×v_A – осестремительное ускорение точки.

Формула Ривальса: a_A^oc=ωv_Asin(ω, v_A). a_вр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.

a_вр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).

Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.

                i j k

M_O(F)=  x_A y_A z_A =>

               F_x F_y F_z

_ð M_Ox(F)=yF_z-zF_y

ð M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

Билет №17.

1. Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении.

Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О.

Поступательное:

X_1o=f₁(t); Y_1o=f₂(t); Z_1o=f₃(t).

Вращательное:

Ψ=f₄(t); φ=f₅(t); θ=f₆(t).

Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6.

ρ_A=ρ_о+rÞv_A=dρ/dt+dr/dt=v_o+ω×r.

a_A=dv_A/dt=dv_o/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=a_o+ε×r+ω²r=a_o+a_A^вр+a_A^ос.

Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ 

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол междуM_O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №18.

1. Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
2. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил.

Дано : F₁ || F₂ .

R=F₁+F₂. M_C(R)=M_C(F₁)+M_C(F₂)=0Þ

ÞF₁∙CA₁=F₂∙CA₂. Повернем F₁ и F₂ на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил.

То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑F_i, R||F_i (точка С принадлежит R) M_O(R)=∑M_O(F_i), r_C×R=∑(r_i×F_i).

Введем единичный вектор eÞ F_k=F_k∙eÞ R=∑F_k∙e.

r_C×∑F_i∙e=∑r_i×(F_i∙e). ∑F_ir_C×e=∑F_ir_i×e.

 (∑F_ir_C-∑F_ir_i)×e=0

r_C=∑F_ir_i/∑F_i.

Координаты центра системы параллельных сил:

X_C=∑F_ix_i/R; Y_C=∑F_iy_i/R;

Z_C=∑F_iz_i/r

Билет №19.