Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M_O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F₁, F₂,…,F_n в точку О: FO=F₁ +F₂+…+F_n= ∑F_k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁,F₁”)…(F_n,F_n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F₁,F₁”)=r₁xF₁=M_O(F₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F_k)= ∑r_kxF_k => (F₁, F₂,…,F_n) ~ (R,M_O) (не зависит от выбора точки О).

Билет №5.

1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.
2. Момент силы относительно оси.

Скорость точки в криволинейных координатах.

V=dr/dt=(∂r/∂q₁)∙dq₁/dt+(∂r/∂q₂)∙dq₂/dt+(∂r/∂q₃)∙dq₃/dt.

v=(dq₁/dt)H₁e₁+(dq₂/dt)H₂e₂+(dq₃/dt)H₃e₃.

v=√(dq₁/dt)²H₁²+(dq₂/dt)²H₂²+(dq₃/dt)²H₃². v_q1=(dq₁/dt)H₁, v_q2=(dq₂/dt)H₂, v_q3=(dq₃/dt)H₃.

Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.

Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то

H₁=1, H₂=ρ, H₃=1.

v_ρ=dρ/dt, v_φ=ρdφ/dt, v_z=dz/dt.

2) Движение по винтовой.

ρ=R=const, φ=kt, z=ut.

v_ρ=0, v_φ=kR, v_z=u.

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.

M_z(F)=±2S_ΔABC=±F_┴∙h.

Если M_z(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.

Билет №6.

1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.
2. Основные виды связей и их реакции.

Криволинейные координаты.

Устанавливают закон выбора 3 чисел q₁, q₂, q₃. q₁, q₂, q₃ – криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q₁,q₂,q₃) (из точки О).

Возьмем точку М₀ с координатами q₁,q₁₀,q_20.

X=X(q₁,q₂₀,q₃₀);

Y=Y(q₁,q₂₀,q₃₀);

Z=Z(q₁,q₂₀,q₃₀);

Определяют кривую (переменная только q₁). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q₁ (аналогично q₂ и q₃). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M₀ в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q₁], [q₂], [q₃].

H₁=

Коэффициент Ламе.

e₁=(∂r/∂q₁)/H₁.

Аналогично Н₂, Н₃, е₂, е₃.

Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1)Гладкая поверхность – по общей нормали.

2)Нить – вдоль к точке закрепления.

3)Сферический шарнир – по любому радиусу.

4)Сферический шарнир – по любому радиусу.

5)Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

Билет №7.

1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

Число степеней свободы твердого тела

n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.

Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~(F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=M_B(F).

Получаем:

F~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

Билет №8.

1. Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Поступательное движение.

Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.

Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.

Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен r_B=r_A+AB, AB=const. dr_B/dt=dr_A/dt+ dAB/dt=dr_A/dt => v_B=v_A, a_B=a_A

Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ 

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол междуM_O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №9.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела.
2. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики.

Вращение вокруг неподв. оси.

φ=φ(t) – угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимо выбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость угла поворота от времени. ω=dφ/dt – угловая скорость. ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение. Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v=ωxr, ускорение a=dv/dt=(dω/dt)xr+ ωxdr/dt=εxr+ωx(ωxr), где a_τ=εxr

Частные случаи: 1) ω=const – равномерное вращение (φ=φº+ωt ). 2) ε=const – равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2)

2. Основная теорема статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент М_о, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

R=åF_k

L_o=åM_o(F_k)

Билет №10.

1. Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

Инварианты системы сил. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

1.Главный вектор R=∑F_i=const.

2.Скалярное произведение главного вектора и главного момента L_OR=const=F_xM_x+ F_yM_y+F_zM_z.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

M_O1R= M_OR+(O₁OxR)R Þ Пр_R(L_O1)= Пр_R(L_O)= L_O1R∙ ∙cos(L_O1^R)= L_O2Rcos(L_O2^R).

L_O1xR_x+ L_O1yR_y +L_O1zR_z =L_O2xR_x +L_O2yR_y +L_O2zR_z

Приведение к простейшему виду:

1) M_O=0, R¹0 à к равнодействующей, равной R, проходящей через О.

2)   R=0, M_O¹0 à к паре с моментом M_O (независимо от О).

R¹0, M_O¹0, M_O┴Ràк равнодействующей, равной R, проходящей через О₁: ОО₁=d= |M_O| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом M_O лежат в одной плоскости Þ

Þ силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’.

3) M_OR¹0, R¹0, M_O¹0, R не перпендикулярна M_O – приводится к динаме.

Доказательство: Разложим M_O на 2 составляющих: M₁ иM₂. M₂ представим в виде пары сил R’ и R”. Силы Rи R” уравновешиваются, а M₁ перенесем в точку O₁ (свободы).

В результате получили винт R’,M₁, проходящий через точку О₁.

Прямая, проходящая через точку О₁ – ось динамы.

Билет №11.