Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении.

v_B=v_A+ωxAB.

a_B=dv_B/dt=dv_A/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=a_A+εxAB+ωx(ωx

AB).

Считая, что εхАВ=(a_BA)^τ;

(a_BA)ⁿ=ω²∙AB, окончательно получим:

a_B=a_A+(a_BA)^τ+(a_BA)ⁿ

a_A – ускорение полюса;

a_BA – ускорение движения вокруг полюса.

2. Сила трения скольжения. Законы Кулона для F_тр.ск.:

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0£ F_тр£ F_мах;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: F_тр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Билет №12.

1. Мгновенный центр скоростей, способы нахождения МЦС.
2. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.

МЦС. Способы нахождения.

 При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. v_P=v_O+v_PO=0, v_O=ω∙OP=>OP= v_O/ω.

Способы нахождения:

1) на основе физического условия задачи.

2) На основе предваритель-ного определения скорости двух точек.

Трение качения. Коэффициент трения качения.

Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхности препятствует качению.

Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде F_тр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. Q_maxR=δN. M_тр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<M_к<M_к.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Q_max) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.

Билет №13.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы, углы Эйлера.
2. Условия равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах. Частные случаи.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера.

Движение твердого тела, у которого одна точка неподвижна, называется сферическим. Количество степеней свободы n=3. (X_A, Y_A, Z_A).

Положение тела определяется с помощью углов Эйлера. Определение: свяжем с телом подвижную систему координат Oxyz. Плоскость xOy пересекает неподвижную плоскость x₁Oy₁ по прямой ОК – линии узлов.

Ψ – угол прецессии;

φ – угол собственного вращения

θ – угол нутации.

Все углы против часовой стрелке.

Если заданы функции Ψ=f₁(t); φ=f₂(t); θ=f₃(t) то движение полностью определено.

Условия равновесия для произвольной простр.системы сил, а также следствия из этих уравнений.

R=0 и L_o=0 –ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил:

åF_kх=0 åF_kу=0 åF_kz=0 åМ_х(Fk)=0 åМу(Fk)=0 åМz(F_k)=0 – аналитическое условие равновесия для произвольной системы сил.

Пусть все силы Î пл-ти хоу, тогда: åF_kх=0 åF_kу=0 åМо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил.

Условие равновесия для плоской системы параллельных сил.

Пустьсилы ôô оси оу, тогда åF_kх=0 åМо(Fk)=0

Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил.

F₁, F₂, F₃,…,F_n ôô оси оz, тогда: åF_kz=0 åМ_х(Fk)=0 åМу(Fk)=0 

Вторая форма  условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил:

åМ_А(Fk)=0 åМ_В(Fk)=0 åМ_С(F_k)=0 – причем т.А, т,В, т.С Ï одной прямой.

- Докажем необходимость этих условий:

Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что å моментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются эти 3 условия.

- Докажем достаточность этих условий:

Доказать достоточность – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е. существует R*¹0 эквив.данной сист.сил.

Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0. Поскольку т.С Ï прямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположение не верно и система действительно нах-ся в равновесии.

Третья форма усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил.

åF_kz=0 åМ_А(Fk)=0 åМ_В(Fk)=0 – причем ось ох не перпендикулярна АВ.

- Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки.

- Докажем достаточность этих условий:

Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* ¹0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.

Потребуем выполнения усл-я R*cosa=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии.

На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил:

åМ_А(Fk)=0 åМ_В(Fk)=0, АВ не параллельна F₁, F₂, F₃,…,F_n

Билет №14.

1. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.
2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Пример применения: распределенные силы.

Опред. v 2-х точек с пом. МЦС.

Зная положение МЦС и скорость какой-либо точки фигуры, можно найти скорости всех точек плоской фигуры. Пусть P – МЦС и известна скорость какой-либо точки фигуры v_А, тогда ω= v_А/AP. v_B= v_АPB/PA. Соединив конец вектора v_B с точкой Р, получим распределение скоростей вдоль отрезка РВ.

Теорема Вариньона.

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки.

Пусть система сил (F₁, F₂,…,F_n) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечения линий действия сил. Возьмем произвольную точку О, тогда:

M_O(R)=rxR=rx∑F_i=∑(rxF_i)= ∑M_Oi(F_i).

Ч. т. д..

Билет №15.

1. Мгновенный центр ускорений. Частные случаи.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

МЦУ. Способы нахождения.

МЦУ – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

a_Q=a_A+a_AQ=0. Угол между a_QA и QA tgα=a_BA^τ/a_BAⁿ=ε/ω², a_AQ=√a_AQ^τ+a_AQⁿ=AQ√ ε²+ω⁴ Þ

1 способ нахождения МЦУ:

Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к a_A отрезок AQ=a_A/√(ε²+ω⁴ в направлении круговой стрелки ε.

2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи – если ускорение какой-либо точки по условию задачи равно нулю, то эта точка является МЦУ.

Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~(F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=M_B(F).

Получаем:

F~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

Билет №16.